Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{7} - 6 x^{\frac{3}{2}} - x^{- 4}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{7} - 6 x^{\frac{3}{2}} - x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{7}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$4 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.2.3

Умножим $7$ на $4$ .

$28 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$28 x^{6} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$28 x^{6} - 6 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.8

Объединим $- 6$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$28 x^{6} + \frac{- 6 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.9

Умножим $3$ на $- 6$ .

$28 x^{6} + \frac{- 18 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.10

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x^{\frac{1}{2}}$ .

$28 x^{6} + \frac{2 (- 9 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$28 x^{6} + \frac{2 (- 9 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.11.2

Сократим общий множитель.

$28 x^{6} + \frac{2 (- 9 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.11.3

Перепишем это выражение.

$28 x^{6} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.3.11.4

Разделим $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{- 4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} - (- 4 x^{- 5})$

Этап 1.4.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- 5}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 1.5.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{5}}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$28 x^{6} + \frac{4}{x^{5}} - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $28 x^{6} + \frac{4}{x^{5}} - 9 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [28 x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (28 x^{6}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [28 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 x^{6}$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 28 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$f'' (x) = 28 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.2.3

Умножим $6$ на $28$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x^{5}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.5.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.7

Умножим $x^{- 10}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.7.3

Вычтем $10$ из $4$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.8

Умножим $- 5$ на $4$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 2.4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 2.4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.4.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.4.9

Объединим $- 9$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} + \frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.4.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} + \frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 \frac{1}{x^{6}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 20$ и $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + \frac{- 20}{x^{6}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 168 x^{5} - \frac{20}{x^{6}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$28 x^{6} + \frac{4}{x^{5}} - 9 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6