Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{2} + y^{2} - 8 x y + 2 x + y + 2 d y$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + y^{2} - 8 x y + 2 x + y + 2 d y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.3

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 8 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x y$ по $x$ равна $- 8 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 0 - 8 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x + 0 - 8 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$8 x + 0 - 8 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 1.6.2

Поскольку $2 d y$ является константой относительно $x$ , производная $2 d y$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 + 0 + 0$

Этап 1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$8 x - 8 y + 2 + 0 + 0$

Этап 1.7.2

Добавим $8 x - 8 y + 2$ и $0$ .

$8 x - 8 y + 2 + 0$

Этап 1.7.3

Добавим $8 x - 8 y + 2$ и $0$ .

$8 x - 8 y + 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8 x - 8 y + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 8 y) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8 y) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8 y) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = 8 + \frac{d}{d x} (- 8 y) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 8 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 + 0 + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 + 0 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $8$ и $0$ .

$f'' (x) = 8 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $8$ и $0$ .

$f'' (x) = 8$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 x - 8 y + 2 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.3

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 8 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x y$ по $x$ равна $- 8 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 0 - 8 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x + 0 - 8 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$8 x + 0 - 8 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [2 d y]$

Этап 4.1.6.2

Поскольку $2 d y$ является константой относительно $x$ , производная $2 d y$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 0 - 8 y + 2 + 0 + 0$

Этап 4.1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$8 x - 8 y + 2 + 0 + 0$

Этап 4.1.7.2

Добавим $8 x - 8 y + 2$ и $0$ .

$8 x - 8 y + 2 + 0$

Этап 4.1.7.3

Добавим $8 x - 8 y + 2$ и $0$ .

$f' (x) = 8 x - 8 y + 2$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x - 8 y + 2$ .

$8 x - 8 y + 2$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x - 8 y + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x - 8 y + 2 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $8 y$ к обеим частям уравнения.

$8 x + 2 = 8 y$

Этап 5.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$8 x = 8 y - 2$

Этап 5.3

Разделим каждый член $8 x = 8 y - 2$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $8 x = 8 y - 2$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{8 y}{8} + \frac{- 2}{8}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{8 y}{8} + \frac{- 2}{8}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8 y}{8} + \frac{- 2}{8}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{8 y}{8} + \frac{- 2}{8}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$x = y + \frac{- 2}{8}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x = y + \frac{2 (- 1)}{8}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x = y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = y + \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = y - \frac{1}{4}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = y - \frac{1}{4}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = y - \frac{1}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$8$

Этап 9

$x = y - \frac{1}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = y - \frac{1}{4}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = y - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $y - \frac{1}{4}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 {(y - \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Перепишем ${(y - \frac{1}{4})}^{2}$ в виде $(y - \frac{1}{4}) (y - \frac{1}{4})$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 ((y - \frac{1}{4}) (y - \frac{1}{4})) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.2

Развернем $(y - \frac{1}{4}) (y - \frac{1}{4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y (y - \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} \cdot (y - \frac{1}{4})) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y \cdot y + y (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} \cdot (y - \frac{1}{4})) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y \cdot y + y (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} y - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{4})) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} + y (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} y - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{4})) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.3.1.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} - \frac{y}{4} - \frac{1}{4} y - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{4})) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.3.1.3

Объединим $y$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} - \frac{y}{4} - \frac{y}{4} - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{4})) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.3.1.4

Умножим $- \frac{1}{4} (- \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} - \frac{y}{4} - \frac{y}{4} + 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{1}{4}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.3.1.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} - \frac{y}{4} - \frac{y}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.3.1.4.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} - \frac{y}{4} - \frac{y}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.3.1.4.4

Умножим $4$ на $4$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} - \frac{y}{4} - \frac{y}{4} + \frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.3.2

Вычтем $\frac{y}{4}$ из $- \frac{y}{4}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} - 2 \frac{y}{4} + \frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} + 2 (- 1) (\frac{y}{4}) + \frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{y}{2 \cdot 2}) + \frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.4.1.3

Сократим общий множитель.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{y}{2 \cdot 2}) + \frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.4.1.4

Перепишем это выражение.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} - 1 \frac{y}{2} + \frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.4.2

Перепишем $- 1 \frac{y}{2}$ в виде $- \frac{y}{2}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 (y^{2} - \frac{y}{2} + \frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} + 4 (- \frac{y}{2}) + 4 (\frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{2}$ в числитель.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} + 4 (\frac{- y}{2}) + 4 (\frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} + 2 (2) (\frac{- y}{2}) + 4 (\frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.6.1.3

Сократим общий множитель.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{- y}{2})) + 4 (\frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.6.1.4

Перепишем это выражение.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} + 2 (- y) + 4 (\frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + 4 (\frac{1}{16}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.6.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + 4 (\frac{1}{4 (4)}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.6.3.2

Сократим общий множитель.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + 4 (\frac{1}{4 \cdot 4}) + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.6.3.3

Перепишем это выражение.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 (y - \frac{1}{4}) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} + (- 8 y - 8 (- \frac{1}{4})) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} + (- 8 y - 8 (\frac{- 1}{4})) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.8.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} + (- 8 y + 4 (- 2) (\frac{- 1}{4})) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} + (- 8 y + 4 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{4}))) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} + (- 8 y - 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.9

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} + (- 8 y + 2) \cdot y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y \cdot y + 2 y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.11

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.11.1

Перенесем $y$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 (y \cdot y) + 2 y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.11.2

Умножим $y$ на $y$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 2 y + 2 (y - \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 2 y + 2 y + 2 (- \frac{1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 2 y + 2 y + 2 (\frac{- 1}{4}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.13.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 2 y + 2 y + 2 (\frac{- 1}{2 (2)}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.13.3

Сократим общий множитель.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 2 y + 2 y + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 2}) + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.13.4

Перепишем это выражение.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 2 y + 2 y + \frac{- 1}{2} + y + 2 d y$

Этап 10.2.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 2 y + 2 y - \frac{1}{2} + y + 2 d y$

Этап 10.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Объединим противоположные члены в $4 y^{2} - 2 y + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 2 y + 2 y - \frac{1}{2} + y + 2 d y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 0 + 2 y - \frac{1}{2} + y + 2 d y$

Этап 10.2.2.1.2

Добавим $4 y^{2} + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2}$ и $0$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 4 y^{2} + \frac{1}{4} + y^{2} - 8 y^{2} + 2 y - \frac{1}{2} + y + 2 d y$

Этап 10.2.2.2

Добавим $4 y^{2}$ и $y^{2}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = 5 y^{2} + \frac{1}{4} - 8 y^{2} + 2 y - \frac{1}{2} + y + 2 d y$

Этап 10.2.2.3

Вычтем $8 y^{2}$ из $5 y^{2}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = - 3 y^{2} + \frac{1}{4} + 2 y - \frac{1}{2} + y + 2 d y$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = - 3 y^{2} + 2 y + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + y + 2 d y$

Этап 10.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = - 3 y^{2} + 2 y + \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + y + 2 d y$

Этап 10.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = - 3 y^{2} + 2 y + \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + y + 2 d y$

Этап 10.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (y - \frac{1}{4}) = - 3 y^{2} + 2 y + \frac{1 - 2}{4} + y + 2 d y$

Этап 10.2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = - 3 y^{2} + 2 y + \frac{- 1}{4} + y + 2 d y$

Этап 10.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (y - \frac{1}{4}) = - 3 y^{2} + 2 y - \frac{1}{4} + y + 2 d y$

Этап 10.2.6

Добавим $2 y$ и $y$ .

$f (y - \frac{1}{4}) = - 3 y^{2} + 3 y - \frac{1}{4} + 2 d y$

Этап 10.2.7

Окончательный ответ: $- 3 y^{2} + 3 y - \frac{1}{4} + 2 d y$ .

$y = - 3 y^{2} + 3 y - \frac{1}{4} + 2 d y$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x^{2} + y^{2} - 8 x y + 2 x + y + 2 d y$ .

$(y - \frac{1}{4}, - 3 y^{2} + 3 y - \frac{1}{4} + 2 d y)$ — локальный минимум

Этап 12