Математический анализ Примеры

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4.1$ является константой относительно $x$ , производная $4.1 \sin (x)$ по $x$ равна $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1.6$ является константой относительно $x$ , производная $- 1.6 \cos (x)$ по $x$ равна $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1.6$ .

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4.1$ является константой относительно $x$ , производная $4.1 \cos (x)$ по $x$ равна $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $4.1$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $1.6$ является константой относительно $x$ , производная $1.6 \sin (x)$ по $x$ равна $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Разделим $4.1$ на $1$ .

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8

Разделим $1.6$ на $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9

Разделим дроби.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 11

Разделим $0$ на $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 12

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

Этап 13

Вычтем $4.1$ из обеих частей уравнения.

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

Этап 14

Разделим каждый член $1.6 \tan (x) = - 4.1$ на $1.6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разделим каждый член $1.6 \tan (x) = - 4.1$ на $1.6$ .

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Этап 14.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель $1.6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Этап 14.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

Этап 14.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Разделим $- 4.1$ на $1.6$ .

$\tan (x) = - 2.5625$

Этап 15

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 2.5625)$

Этап 16

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем значение $\arctan (- 2.5625)$ .

$x = - 1.19872856$

Этап 17

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

Этап 18

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Добавим $2 π$ к $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 18.2

Результирующий угол $1.94286408$ является положительным и отличается от $- 1.19872856 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 1.94286408$

Этап 19

Решение уравнения $x = - 1.19872856$ .

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = - 1.19872856$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Этап 21

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Умножим $- 4.1$ на $\sin (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Этап 21.1.2

Умножим $1.6$ на $\cos (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 0.58166797$

Этап 21.2

Добавим $3.81946823$ и $0.58166797$ .

$4.40113621$

Этап 22

$x = - 1.19872856$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1.19872856$ — локальный минимум

Этап 23

Найдем значение y, если $x = - 1.19872856$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.19872856$ .

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Этап 23.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Умножим $4.1$ на $\sin (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Этап 23.2.1.2

Умножим $- 1.6$ на $\cos (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

Этап 23.2.2

Вычтем $0.58166797$ из $- 3.81946823$ .

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

Этап 23.2.3

Окончательный ответ: $- 4.40113621$ .

$y = - 4.40113621$

Этап 24

Найдем вторую производную в $x = 1.94286408$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

Этап 25

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.1

Умножим $- 4.1$ на $\sin (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

Этап 25.1.2

Умножим $1.6$ на $\cos (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 - 0.58166797$

Этап 25.2

Вычтем $0.58166797$ из $- 3.81946823$ .

$- 4.40113621$

Этап 26

$x = 1.94286408$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1.94286408$ — локальный максимум

Этап 27

Найдем значение y, если $x = 1.94286408$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.94286408$ .

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

Этап 27.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.1

Умножим $4.1$ на $\sin (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

Этап 27.2.1.2

Умножим $- 1.6$ на $\cos (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

Этап 27.2.2

Добавим $3.81946823$ и $0.58166797$ .

$f (1.94286408) = 4.40113621$

Этап 27.2.3

Окончательный ответ: $4.40113621$ .

$y = 4.40113621$

Этап 28

Это локальные экстремумы $f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ .

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ — локальный минимум

$(1.94286408, 4.40113621)$ — локальный максимум

Этап 29