Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \frac{x}{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (2 \frac{x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Этап 1.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $2$ и $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{2 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Этап 1.3.2

Объединим $\frac{2 x}{x + 5}$ и $4$ .

$\frac{2 x \cdot 4}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.2

Умножим $x + 5$ на $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.3

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.6.4

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.6.5

Умножим $\frac{8 x}{x + 5}$ на $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{8 x \cdot 5}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.6.6

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{40 x}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.6

Умножим $x + 5$ на ${(x + 5)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $x + 5$ на ${(x + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1 + 2}}$

Этап 1.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 5)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 40 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x + 5)}^{3}})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{({(x + 5)}^{3})}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{3 \cdot 2}})$

Этап 2.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.3.3

Умножим ${(x + 5)}^{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 5$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{2}$ из ${(x + 5)}^{3} - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{2}$ из ${(x + 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5) - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{2}$ из $- 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5) + {(x + 5)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{2}$ из ${(x + 5)}^{2} (x + 5) + {(x + 5)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x + 5]))$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{6}})$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{2}$ из ${(x + 5)}^{6}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{4}})$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{4}})$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Этап 2.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{4}})$

Этап 2.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x \cdot 1}{{(x + 5)}^{4}})$

Этап 2.10.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x}{{(x + 5)}^{4}})$

Этап 2.10.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{- 2 x + 5}{{(x + 5)}^{4}})$

Этап 2.10.4

Объединим $40$ и $\frac{- 2 x + 5}{{(x + 5)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 40 \cdot 5}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Умножим $- 2$ на $40$ .

$f'' (x) = \frac{- 80 x + 40 \cdot 5}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.2.2

Умножим $40$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 80 x + 200}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.3

Вынесем множитель $40$ из $- 80 x + 200$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Вынесем множитель $40$ из $- 80 x$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 200}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.3.2

Вынесем множитель $40$ из $200$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 40 (5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.3.3

Вынесем множитель $40$ из $40 (- 2 x) + 40 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x) + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.5

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x) - 1 \cdot - 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x - 5))}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.7

Перепишем $- (2 x - 5)$ в виде $- 1 (2 x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 1 (2 x - 5))}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 2.11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{40 (2 x - 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (2 \frac{x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Этап 4.1.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Объединим $2$ и $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{2 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Этап 4.1.3.2

Объединим $\frac{2 x}{x + 5}$ и $4$ .

$\frac{2 x \cdot 4}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Этап 4.1.4

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.2

Умножим $x + 5$ на $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.3

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.6.4

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.6.5

Умножим $\frac{8 x}{x + 5}$ на $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{8 x \cdot 5}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.5.6.6

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{40 x}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.6

Умножим $x + 5$ на ${(x + 5)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $x + 5$ на ${(x + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{2}}$

Этап 4.1.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1 + 2}}$

Этап 4.1.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$40 x = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $40 x = 0$ на $40$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $40 x = 0$ на $40$ .

$\frac{40 x}{40} = \frac{0}{40}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{40 x}{40} = \frac{0}{40}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{40}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $40$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 5)}^{3} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{40 (2 (0) - 5)}{{((0) + 5)}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{40 (0 - 5)}{{(0 + 5)}^{4}}$

Этап 9.1.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{4}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $5$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{5^{4}}$

Этап 9.2.2

Возведем $5$ в степень $4$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{625}$

Этап 9.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $40$ на $- 5$ .

$- \frac{- 200}{625}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $- 200$ и $625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 200$ .

$- \frac{25 (- 8)}{625}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $625$ .

$- \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 25}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 25}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 8}{25}$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{8}{25}$

Этап 9.4

Умножим $- - \frac{8}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{8}{25})$

Этап 9.4.2

Умножим $\frac{8}{25}$ на $1$ .

$\frac{8}{25}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 4 {(\frac{0}{(0) + 5})}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $(0) + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{(0) + 5})}^{2}$

Этап 11.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 0 + 5})}^{2}$

Этап 11.2.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{5 \cdot 0 + 5 \cdot 1})}^{2}$

Этап 11.2.1.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 0 + 5 \cdot 1$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{5 \cdot (0 + 1)})}^{2}$

Этап 11.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f (0) = 4 {(\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot (0 + 1)})}^{2}$

Этап 11.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f (0) = 4 {(\frac{0}{0 + 1})}^{2}$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 4 {(\frac{0}{1})}^{2}$

Этап 11.2.2.2

Разделим $0$ на $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 0^{2}$

Этап 11.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0$

Этап 11.2.2.4

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

Этап 13