Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x - \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{x} + 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $3 x - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 3$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{x} + 3$ .

$- \frac{1}{x} + 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{x} + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x} = - 3$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{1}{x} = - 3$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{x} = - 3$ на $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 3 x$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x = - 1$ .

$- 3 x = - 1$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- 3 x = - 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = - 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 9.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\frac{1}{3^{2}}}$

Этап 9.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9}}$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \cdot 9$

Этап 9.3

Умножим $9$ на $1$ .

$9$

Этап 10

$x = \frac{1}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{3}) = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $1 - \ln (\frac{1}{3})$ .

$y = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x - \ln (x)$ .

$(\frac{1}{3}, 1 - \ln (\frac{1}{3}))$ — локальный минимум

Этап 13