Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle -4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -4x^{\frac{1}{4}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -4\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{4}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{4}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{4}{4}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{4}{4}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{3}{4}}}$.

Объединим ${\displaystyle -4}$ и ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{3}{4}}}{4}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{3}{4}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 4}$ из ${\displaystyle -4}$.

Сократим общие множители.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Поскольку ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ на ${\displaystyle 1}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}-\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{\sqrt[4]{19}}{19}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=-1}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^{\frac{3}{4}}\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{3}{4}}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{3}{4}}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^{\frac{3}{4}}\right)}^{-2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{4}{4}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{4}{4}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{4}}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{3x^{-\frac{1}{4}}}{4}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{3}{2}}}$.

Умножим ${\displaystyle x^{-\frac{1}{4}}}$ на ${\displaystyle x^{-\frac{3}{2}}}$, сложив экспоненты.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{7}{4}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{3}{4x^{\frac{7}{4}}}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}$ на ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle \frac{3}{4x^{\frac{7}{4}}}}$ и ${\displaystyle 0}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle -4x^{\frac{1}{4}}+\frac{\sqrt[4]{19}}{19}x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-4x^{\frac{1}{4}}]+\frac{d}{dx}\left[\frac{\sqrt[4]{19}}{19}x\right]}$.

Найдем значение ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-4x^{\frac{1}{4}}]}$.

Найдем значение ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{\sqrt[4]{19}}{19}x\right]}$.

Изменим порядок членов.

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

Так как ${\displaystyle x^{\frac{3}{4}},19}$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части ${\displaystyle 1,19}$, затем найдем НОК для части с переменной ${\displaystyle x^{\frac{3}{4}}}$.

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

Число ${\displaystyle 1}$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Поскольку ${\displaystyle 19}$ не имеет множителей, кроме ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 19}$.

НОК ${\displaystyle 1,19}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

НОК ${\displaystyle x^{\frac{3}{4}}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

НОК ${\displaystyle x^{\frac{3}{4}},19}$ представляет собой произведение числовой части ${\displaystyle 19}$ и переменной части.

Умножим каждый член ${\displaystyle -\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=-\frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ на ${\displaystyle 19x^{\frac{3}{4}}}$.

Упростим левую часть.

Упростим правую часть.