Математический анализ Примеры

$f (x) = 32 x^{0.25}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 x^{0.25}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Этап 1.3

Умножим $0.25$ на $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Этап 1.4.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{x^{0.75}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.75}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.75}})$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{0.75}}$ в виде ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{0.75})}^{- 1})$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{0.75 \cdot - 1})$

Этап 2.2.2.2

Умножим $0.75$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{- 0.75})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 0.75$ .

$f'' (x) = 8 (- 0.75 x^{- 1.75})$

Этап 2.4

Умножим $- 0.75$ на $8$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 1.75}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{1.75}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{x^{1.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{1.75}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{1.75}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 x^{0.25}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Этап 4.1.3

Умножим $0.25$ на $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Этап 4.1.4.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{0.75}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{8}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{8}{x^{0.75}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 = 0$

Этап 5.3

Поскольку $8 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Переведем $0.75$ в дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим на $\frac{100}{100}$ ,чтобы избавиться от знаков после запятой.

$\frac{8}{x^{\frac{100 \cdot 0.75}{100}}}$

Этап 6.1.1.2

Умножим $100$ на $0.75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{75}{100}}}$

Этап 6.1.1.3

Сократим общий множитель $75$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 (3)}{100}}}$

Этап 6.1.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $25$ из $100$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Этап 6.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Этап 6.1.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 6.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.3.3.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} < 0$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.5.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{6}{{(0)}^{1.75}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Этап 9.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11