Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x e^{3 x} - e^{3 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x e^{3 x} - e^{3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x e^{3 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{3 x}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$3 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$3 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.8

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$3 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.2.9

Умножим $e^{3 x}$ на $1$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{3 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{3 x} \cdot 3)$

Этап 1.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (3 \cdot e^{3 x})$

Этап 1.3.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - 3 e^{3 x}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (3 e^{3 x})) + 3 e^{3 x} - 3 e^{3 x}$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$9 (x (e^{3 x})) + 3 e^{3 x} - 3 e^{3 x}$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $3 e^{3 x}$ из $3 e^{3 x}$ .

$9 x e^{3 x} + 0$

Этап 1.4.2.3

Добавим $9 x e^{3 x}$ и $0$ .

$9 x e^{3 x}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок множителей в $9 x e^{3 x}$ .

$9 e^{3 x} x$

Этап 1.4.4

Изменим порядок множителей в $9 e^{3 x} x$ .

$9 x e^{3 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x e^{3 x}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 9 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$f'' (x) = 9 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$f'' (x) = 9 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = 9 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.3.2

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Этап 2.4.5

Умножим $e^{3 x}$ на $1$ .

$f'' (x) = 9 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 9 (x (3 e^{3 x})) + 9 e^{3 x}$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $9$ .

$f'' (x) = 27 x e^{3 x} + 9 e^{3 x}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 27 e^{3 x} x + 9 e^{3 x}$

Этап 2.5.4

Изменим порядок множителей в $27 e^{3 x} x + 9 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 27 x e^{3 x} + 9 e^{3 x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$9 x e^{3 x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $3 x e^{3 x} - e^{3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x e^{3 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.2

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.3.2

$3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$3 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$3 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.8

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$3 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.2.9

Умножим $e^{3 x}$ на $1$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{3 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 4.1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4.1.3.2.2

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Этап 4.1.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (e^{3 x} \cdot 3)$

Этап 4.1.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - (3 \cdot e^{3 x})$

Этап 4.1.3.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) - 3 e^{3 x}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (3 e^{3 x})) + 3 e^{3 x} - 3 e^{3 x}$

Этап 4.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$9 (x (e^{3 x})) + 3 e^{3 x} - 3 e^{3 x}$

Этап 4.1.4.2.2

Вычтем $3 e^{3 x}$ из $3 e^{3 x}$ .

$9 x e^{3 x} + 0$

Этап 4.1.4.2.3

Добавим $9 x e^{3 x}$ и $0$ .

$9 x e^{3 x}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок множителей в $9 x e^{3 x}$ .

$9 e^{3 x} x$

Этап 4.1.4.4

Изменим порядок множителей в $9 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 9 x e^{3 x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $9 x e^{3 x}$ .

$9 x e^{3 x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $9 x e^{3 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$9 x e^{3 x} = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

Этап 5.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{3 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{3 x}$ к $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{3 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{3 x} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 x e^{3 x} = 0$ верно.

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$27 (0) e^{3 (0)} + 9 e^{3 (0)}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $27$ на $0$ .

$0 e^{3 (0)} + 9 e^{3 (0)}$

Этап 9.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 e^{0} + 9 e^{3 (0)}$

Этап 9.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + 9 e^{3 (0)}$

Этап 9.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 9 e^{3 (0)}$

Этап 9.1.5

Умножим $3$ на $0$ .

$0 + 9 e^{0}$

Этап 9.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 9 \cdot 1$

Этап 9.1.7

Умножим $9$ на $1$ .

$0 + 9$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $9$ .

$9$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 3 (0) \cdot e^{3 (0)} - e^{3 (0)}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 \cdot e^{3 (0)} - e^{3 (0)}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 \cdot e^{0} - e^{3 (0)}$

Этап 11.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1 - e^{3 (0)}$

Этап 11.2.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$f (0) = 0 - e^{3 (0)}$

Этап 11.2.1.5

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 - e^{0}$

Этап 11.2.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 11.2.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (0) = 0 - 1$

Этап 11.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = - 1$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x e^{3 x} - e^{3 x}$ .

$(0, - 1)$ — локальный минимум

Этап 13