Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 + \log_{\frac{1}{3}} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 3 + \log_{\frac{1}{3}} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$

Этап 1.2

Производная $\log_{\frac{1}{3}} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ .

$0 + \frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ .

$\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ по $x$ равна $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot (- x^{- 2})$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})}$ и $x^{- 2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2}}{\ln (\frac{1}{3})}$

Этап 2.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{\ln (\frac{1}{3}) x^{2}}$

Этап 2.4.2.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{\ln (\frac{1}{3}) x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2} \ln (\frac{1}{3})}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6