Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \csc (4 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.2.2

Производная $\csc (u)$ по $u$ равна $- \csc (u) \cot (u)$ .

$3 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$3 (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $- 12$ на $1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$

Этап 1.3.5.2

Изменим порядок множителей в $- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$ .

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [\cot (4 x) \csc (4 x)]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cot (4 x) \csc (4 x))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (4 x)$ и $g (x) = \csc (4 x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) \frac{d}{d x} (\csc (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\csc (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.3.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.4

Возведем $\cot (4 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.5

Возведем $\cot (4 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) {\cot (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.7.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.7.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} x + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \cdot 1 + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.7.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Этап 2.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cot (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Этап 2.8.2

Производная $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Этап 2.8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Этап 2.9

Возведем $\csc (4 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc (4 x) \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Этап 2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - {\csc (4 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} (4 x))$

Этап 2.11

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Этап 2.12

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.13

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} x)$

Этап 2.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \cdot 1)$

Этап 2.15

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x))$

Этап 2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Этап 2.16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.2.1

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (\csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Этап 2.16.2.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 48 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Этап 2.16.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 48 \cot^{2} (4 x) \csc (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

$\csc (4 x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\cot (4 x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cot (4 x)$ к $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cot (4 x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$4 x = arccot (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 5.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 5.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 5.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 5.2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 5.2.4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$4 x = π + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 5.2.5.1.4

Добавим $π \cdot 2$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 5.2.5.1.4.2

Добавим $2 \cdot π$ и $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Этап 5.2.5.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Этап 5.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Этап 5.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Этап 5.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 5.2.5.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Этап 5.2.5.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 5.2.6

Решение уравнения $4 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Этап 6

Приравняем $\csc (4 x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\csc (4 x)$ к $0$ .

$\csc (4 x) = 0$

Этап 6.2

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{π}{8})) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$48 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.4

Умножим $48$ на $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$0 \csc (4 \frac{π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.5.2

Сократим общий множитель.

$0 \csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.5.3

Перепишем это выражение.

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.6

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 \cdot 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.7

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 9.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 (2)})$

Этап 9.1.8.2

Сократим общий множитель.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Этап 9.1.8.3

Перепишем это выражение.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.9

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 48 \cdot 1^{3}$

Этап 9.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 48 \cdot 1$

Этап 9.1.11

Умножим $48$ на $1$ .

$0 + 48$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $48$ .

$48$

Этап 10

$x = \frac{π}{8}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{8}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{8}$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

Этап 11.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

Этап 11.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (\frac{π}{2})$

Этап 11.2.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \cdot 1$

Этап 11.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{3 π}{8})) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.1.2

Сократим общий множитель.

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.1.3

Перепишем это выражение.

$48 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен в четвертом квадранте.

$48 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.3

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$48 {(- 0)}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.6

Умножим $48$ на $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.7.2

Сократим общий множитель.

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.7.3

Перепишем это выражение.

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку косеканс отрицателен в четвертом квадранте.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.9

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.10

Умножим $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 \cdot - 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.10.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 13.1.11

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

Этап 13.1.11.2

Сократим общий множитель.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

Этап 13.1.11.3

Перепишем это выражение.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Этап 13.1.12

$0 + 48 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Этап 13.1.13

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 48 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Этап 13.1.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 48 {(- 1)}^{3}$

Этап 13.1.15

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 + 48 \cdot - 1$

Этап 13.1.16

Умножим $48$ на $- 1$ .

$0 - 48$

Этап 13.2

Вычтем $48$ из $0$ .

$- 48$

Этап 14

$x = \frac{3 π}{8}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{8}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

Этап 15.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

Этап 15.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (\frac{3 π}{2})$

Этап 15.2.2

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Этап 15.2.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.2.4

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \cdot - 1$

Этап 15.2.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 3$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 \csc (4 x)$ .

$(\frac{π}{8}, 3)$ — локальный минимум

$(\frac{3 π}{8}, - 3)$ — локальный максимум

Этап 17