Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{3} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Этап 1.3.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Этап 1.4.2.3

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Этап 1.4.3

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Этап 1.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Этап 1.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Этап 1.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Этап 1.4.7

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Этап 1.4.8

Применим формулу Пифагора.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Этап 1.4.9

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 1.4.9.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Этап 1.4.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Этап 1.4.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Этап 1.4.10

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \sin^{3} (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Этап 2.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\sin^{3} (x)$ на $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Этап 5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Этап 6

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\sin (x) = 0$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 10

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 11

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

Этап 13.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

Этап 13.3

Умножим $- 9$ на $0$ .

$0 \cos (0)$

Этап 13.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 13.5

Умножим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- 3 \sin^{3} (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Найдем значение $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

Этап 14.2.2.2

Возведем $- 0.90929742$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

Этап 14.2.2.3

Умножим $- 3$ на $- 0.75182694$ .

$f' (- 2) = 2.25548083$

Этап 14.2.2.4

Окончательный ответ: $2.25548083$ .

$2.25548083$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, π)$ в первую производную $- 3 \sin^{3} (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Найдем значение $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

Этап 14.3.2.2

Возведем $0.90929742$ в степень $3$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

Этап 14.3.2.3

Умножим $- 3$ на $0.75182694$ .

$f' (2) = - 2.25548083$

Этап 14.3.2.4

Окончательный ответ: $- 2.25548083$ .

$- 2.25548083$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(π, \infty)$ в первую производную $- 3 \sin^{3} (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Найдем значение $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

Этап 14.4.2.2

Возведем $- 0.27941549$ в степень $3$ .

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

Этап 14.4.2.3

Умножим $- 3$ на $- 0.02181481$ .

$f' (6) = 0.06544443$

Этап 14.4.2.4

Окончательный ответ: $0.06544443$ .

$0.06544443$

Этап 14.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = π$ , $x = π$ — локальный минимум.

$x = π$ — локальный минимум

Этап 14.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ .

$x = 0$ — локальный максимум

$x = π$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = π$ — локальный минимум

Этап 15