Математический анализ Примеры

$f (x) = 36 x^{- 3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{- 3}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$36 (- 3 x^{- 4})$

Этап 1.3

Умножим $- 3$ на $36$ .

$- 108 x^{- 4}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 108 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.4.2

Объединим $- 108$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 108}{x^{4}}$

Этап 1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{108}{x^{4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 108$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{108}{x^{4}}$ по $x$ равна $- 108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 108 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 108 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 108 \frac{d}{d x} x^{4 \cdot - 1}$

Этап 2.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 108 \frac{d}{d x} x^{- 4}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$f'' (x) = - 108 (- 4 x^{- 5})$

Этап 2.4

Умножим $- 4$ на $- 108$ .

$f'' (x) = 432 x^{- 5}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 432 (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.5.2

Объединим $432$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{432}{x^{5}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{108}{x^{4}} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6