Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x \sqrt{5 - x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 - x}$ в виде ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8.3

Перенесем ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.9

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.14.2

Объединим $\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$3 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$3 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.14.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 (\frac{- x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 1.16

Умножим ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.17

Чтобы записать ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.18

Объединим ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.20

Умножим ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.20.1

Перенесем ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$3 \frac{- x + {(5 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.21.1

Упростим ${(5 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$3 \frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21.2

Перенесем $2$ влево от $5 - x$ .

$3 \frac{- x + 2 \cdot (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.22

Объединим $3$ и $\frac{- x + 2 (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (- x + 2 (5 - x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- x + 2 \cdot 5 + 2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- x) + 3 (2 \cdot 5) + 3 (2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.23.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.23.3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 x + 3 (2 \cdot 5) + 3 (2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.3.1.2

Умножим $3 (2 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.23.3.1.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{- 3 x + 3 \cdot 10 + 3 (2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.3.1.2.2

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{- 3 x + 30 + 3 (2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 3 x + 30 + 3 (- 2 x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.3.1.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 3 x + 30 - 6 x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{- 9 x + 30}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.4

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.23.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x$ .

$\frac{3 (- 3 x) + 30}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.4.2

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$\frac{3 (- 3 x) + 3 (10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 3 x) + 3 (10)$ .

$\frac{3 (- 3 x + 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{3 (- (3 x) + 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.6

Перепишем $10$ в виде $- 1 (- 10)$ .

$\frac{3 (- (3 x) - 1 (- 10))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{3 (- (3 x - 10))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.8

Перепишем $- (3 x - 10)$ в виде $- 1 (3 x - 10)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 x - 10))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 10}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 10}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 10$ и $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Этап 2.4

Упростим.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $3 x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Этап 2.5.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Этап 2.5.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Этап 2.5.5

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Этап 2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Этап 2.5.6.2

Перенесем $3$ влево от ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Этап 2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.6.2

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.11.3

Перенесем ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Этап 2.12

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)))}{5 - x}$

Этап 2.13

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{5 - x}$

Этап 2.14

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{5 - x}$

Этап 2.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{5 - x}$

Этап 2.16

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{5 - x}$

Этап 2.16.2

Умножим $3 x - 10$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{5 - x}$

Этап 2.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{5 - x}$

Этап 2.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Умножим $3 x - 10$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{5 - x}$

Этап 2.18.2

Умножим $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) \frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 - x}$ на $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot 3}{(5 - x) \cdot 2}$

Этап 2.18.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.1

Перенесем $3$ влево от $3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) \frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{(5 - x) \cdot 2}$

Этап 2.18.3.2

Перенесем $2$ влево от $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot (5 - x)}$

Этап 2.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (5 - x)}$

Этап 2.19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.2

Умножим $3 x - 10$ на $\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (\frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.3

Объединим $3$ и $\frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.4

Чтобы записать $9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.5

Объединим $9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7

Перепишем $\frac{9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (3 x - 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.3.7.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})) + 3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})) + 3 (3 x - 10)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (3 \cdot (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.3

Умножим ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.3.7.3.1

Перенесем ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (3 \cdot (2 ({(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (3 \cdot (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (3 \cdot (2 {(5 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}}) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (3 \cdot (2 {(5 - x)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.3.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (3 \cdot (2 (5 - x)) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.4

Упростим $3 \cdot 2 {(5 - x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (3 \cdot (2 (5 - x)) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.5

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (6 (5 - x) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (6 \cdot 5 + 6 (- x) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.7

Умножим $6$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (30 + 6 (- x) + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.8

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (30 - 6 x + 3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.9

Вычтем $10$ из $30$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- 6 x + 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.3.7.10

Добавим $- 6 x$ и $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{10 + 2 (- x)}$

Этап 2.19.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{10 - 2 x}$

Этап 2.19.4.3

Перепишем $\frac{\frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{10 - 2 x}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (\frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{10 - 2 x})$

Этап 2.19.4.4

Умножим $\frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{10 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (10 - 2 x)}$

Этап 2.19.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.5.1

Вынесем множитель $2$ из $10 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (5) - 2 x)}$

Этап 2.19.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (5) + 2 (- x))}$

Этап 2.19.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (5 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (5 - x))}$

Этап 2.19.5.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.5.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (5 - x)}$

Этап 2.19.5.2.2

Возведем $5 - x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{4 ((5 - x) {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.19.5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{4 {(5 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.19.5.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.19.5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 2.19.5.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 3 x + 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.19.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (3 x) + 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.19.7

Перепишем $20$ в виде $- 1 (- 20)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (3 x) - 1 \cdot - 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.19.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 20)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (3 x - 20))}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.19.9

Перепишем $- (3 x - 20)$ в виде $- 1 (3 x - 20)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 1 (3 x - 20))}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.19.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{3 (3 x - 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.19.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 (3 x - 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.19.12

Умножим $\frac{3 (3 x - 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 x - 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 - x}$ в виде ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.1.2

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.2

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.3.2

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.8.3

Перенесем ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.9

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.14.2

Объединим $\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.14.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 4.1.16

Умножим ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.17

$f' (x) = 3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.18

Объединим ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 3 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 3 (\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.20

Умножим ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.20.1

Перенесем ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 3 (\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 3 (\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.21

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.21.1

Упростим ${(5 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.21.2

Перенесем $2$ влево от $5 - x$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x + 2 \cdot (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.22

Объединим $3$ и $\frac{- x + 2 (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x + 2 (5 - x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 (- x + 2 \cdot 5 + 2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 (- x) + 3 (2 \cdot 5) + 3 (2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.23.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.23.3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 3 (2 \cdot 5) + 3 (2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.3.1.2

Умножим $3 (2 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.23.3.1.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 3 \cdot 10 + 3 (2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.3.1.2.2

Умножим $3$ на $10$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 30 + 3 (2 (- x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 30 + 3 (- 2 x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.3.1.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 30 - 6 x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- 9 x + 30}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.4

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.23.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 3 x) + 30}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.4.2

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 3 x) + 3 (10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 3 x) + 3 (10)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 3 x + 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (3 x) + 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.6

Перепишем $10$ в виде $- 1 (- 10)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (3 x) - 1 \cdot - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (3 x - 10))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.8

Перепишем $- (3 x - 10)$ в виде $- 1 (3 x - 10)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (3 x - 10))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.23.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{3 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 (3 x - 10) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 (3 x - 10) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Разделим каждый член $3 (3 x - 10) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (3 x - 10)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 x - 10)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.1.2.1.2

Разделим $3 x - 10$ на $1$ .

$3 x - 10 = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$3 x - 10 = 0$

Этап 5.3.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 10$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $3 x = 10$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $3 x = 10$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{3 (3 x - 10)}{2 \sqrt{{(5 - x)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{3 (3 x - 10)}{2 \sqrt{5 - x}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{3 (3 x - 10)}{2 \sqrt{5 - x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{5 - x} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{5 - x})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 - x}$ в виде ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(5 - x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (5 - x) = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 5 + 4 (- x) = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.6.1

Умножим $4$ на $5$ .

$20 + 4 (- x) = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$20 - 4 x = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$20 - 4 x = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 20$

Этап 6.3.3.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 20$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 20$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

Этап 6.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

Этап 6.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 4}$

Этап 6.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.3.1

Разделим $- 20$ на $- 4$ .

$x = 5$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 - x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 - x < 0$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$- x < - 5$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $- x < - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $- x < - 5$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x > 5$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \geq 5$

$[5, \infty)$

$x \geq 5$

$[5, \infty)$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{10}{3}, 5$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{10}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{3 (3 (\frac{10}{3}) - 20)}{4 {(5 - (\frac{10}{3}))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 (\frac{10}{3}) - 20)}{4 {(5 - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (10 - 20)}{4 {(5 - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Вычтем $20$ из $10$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{4 {(5 - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{4 {(5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.2

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{4 {(\frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot - 10}{4 {(\frac{5 \cdot 3 - 10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{4 {(\frac{15 - 10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.4.2

Вычтем $10$ из $15$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{4 {(\frac{5}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.5

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{4 \frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $3$ на $- 10$ .

$\frac{- 30}{4 \frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.3.2

Объединим $4$ и $\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 30}{\frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 30 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 30$ .

$2 (- 15) \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (- 15) \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}$

Этап 9.5.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 15 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}$

Этап 9.5.4

Перепишем это выражение.

$- 15 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.6

Объединим $- 15$ и $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 15 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Этап 10

$x = \frac{10}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{10}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{10}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{10}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = 3 (\frac{10}{3}) \sqrt{5 - (\frac{10}{3})}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{10}{3}) = 3 (\frac{10}{3}) \cdot \sqrt{5 - (\frac{10}{3})}$

Этап 11.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{10}{3}) = 10 \sqrt{5 - (\frac{10}{3})}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 \sqrt{5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}}$

Этап 11.2.3

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 \sqrt{\frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10}{3}) = 10 \sqrt{\frac{5 \cdot 3 - 10}{3}}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $5$ на $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 \sqrt{\frac{15 - 10}{3}}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $10$ из $15$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 \sqrt{\frac{5}{3}}$

Этап 11.2.6

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}})$

Этап 11.2.7

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 11.2.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Этап 11.2.8.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Этап 11.2.8.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Этап 11.2.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Этап 11.2.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Этап 11.2.8.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 11.2.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 11.2.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Этап 11.2.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Этап 11.2.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3})$

Этап 11.2.8.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3})$

Этап 11.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3})$

Этап 11.2.9.2

Умножим $5$ на $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = 10 (\frac{\sqrt{15}}{3})$

Этап 11.2.10

Объединим $10$ и $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10 \sqrt{15}}{3}$

Этап 11.2.11

Окончательный ответ: $\frac{10 \sqrt{15}}{3}$ .

$y = \frac{10 \sqrt{15}}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{4 {(5 - (5))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{4 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{4 \cdot 0^{3}}$

Этап 13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{4 \cdot 0}$

Этап 13.3.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{0}$

Этап 13.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{3 (3 (5) - 20)}{0}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 15