Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 x + e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 3 x + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 3 + e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 3 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 0 + e^{x}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$f'' (x) = e^{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 + e^{x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- 3 x + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4.1.3

$f' (x) = - 3 + e^{x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 + e^{x}$ .

$- 3 + e^{x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 + e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 + e^{x} = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 3$

Этап 5.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Этап 5.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Этап 5.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Этап 5.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (3)$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \ln (3)$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \ln (3)$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$e^{\ln (3)}$

Этап 9

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$3$

Этап 10

$x = \ln (3)$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \ln (3)$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (3)$ .

$f (\ln (3)) = - 3 \ln (3) + e^{\ln (3)}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Упростим $- 3 \ln (3)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (\ln (3)) = - \ln (3^{3}) + e^{\ln (3)}$

Этап 11.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\ln (3)) = - \ln (27) + e^{\ln (3)}$

Этап 11.2.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (3)) = - \ln (27) + 3$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $- \ln (27) + 3$ .

$y = - \ln (27) + 3$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = - 3 x + e^{x}$ .

$(\ln (3), - \ln (27) + 3)$ — локальный минимум

Этап 13