Математический анализ Примеры

$\int x {(6 + \sqrt{x})}^{2} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(6 + \sqrt{x})}^{2}$ в виде $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ .

$\int x ((6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})) d x$

Этап 1.2

Развернем $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (6 (6 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{x}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Этап 1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) d x$

Этап 1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) d x$

Этап 1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}) d x$

Этап 1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}) d x$

Этап 1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) d x$

Этап 1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) d x$

Этап 1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

Этап 1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

Этап 1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{1}) d x$

Этап 1.3.1.4.5

Упростим.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x) d x$

Этап 1.3.2

Добавим $6 \sqrt{x}$ и $6 \sqrt{x}$ .

$\int x (36 + 12 \sqrt{x} + x) d x$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot 36 + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем $36$ влево от $x$ .

$\int 36 \cdot x + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

Этап 1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x \cdot x d x$

Этап 1.5.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

$\int 36 x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 36 x + 12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{2} d x$

Этап 2.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x) + x^{2} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x^{2} d x$

Этап 2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + 1} + x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x^{2} d x$

Этап 2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x^{2} d x$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int 36 x + 12 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 36 x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $36$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $36$ из-под знака интеграла.

$36 \int x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 9.1.2

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 9.2

Упростим.

$18 x^{2} + \frac{24 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$18 x^{2} + \frac{24}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} x^{3} + C$