Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} x \sin (2 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x$

Этап 5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 5.5

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

Этап 9

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{3} \cos (2 \frac{π}{3})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

Этап 10.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{2 π}{3}$ и в $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{3} \cos (2 \frac{π}{3})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{\frac{π}{3} \cos (\frac{2 π}{3})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.2

Объединим $\frac{π}{3}$ и $\cos (\frac{2 π}{3})$ .

$- \frac{\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.3

Перепишем $\frac{\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3}}{2}$ в виде произведения.

$- (\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.4

Умножим $\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.5

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.6

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.7

Умножим $0$ на $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.9

Добавим $- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6}$ и $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Этап 10.3.10

Чтобы записать $\frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)) \cdot \frac{6}{6}$

Этап 10.3.11

Объединим $\frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$ и $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)) \cdot 6}{6}$

Этап 10.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)) \cdot 6}{6}$

Этап 10.3.13

Объединим $6$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{6}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Этап 10.3.14

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 (3)}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Этап 10.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Этап 10.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Этап 10.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)}{6}$

Этап 11.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)}{6}$

Этап 11.3

Добавим $\sin (\frac{2 π}{3})$ и $0$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} \sin (\frac{2 π}{3})}{6}$

Этап 11.4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{6}$

Этап 11.5

Умножим $\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{6}$

Этап 11.6

Объединим.

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2})}{2 \cdot 6}$

Этап 11.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3})) + 2 \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{2 \cdot 6}$

Этап 11.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3})) + 2 \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{2 \cdot 6}$

Этап 11.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3})) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2 \cdot 6}$

Этап 11.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 (π \cos (\frac{2 π}{3})) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2 \cdot 6}$

Этап 11.10

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{- 2 π \cos (\frac{2 π}{3}) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 11.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 π \cos (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{- (2 π \cos (\frac{2 π}{3})) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 11.12

Вынесем множитель $- 1$ из $3 \sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{- (2 π \cos (\frac{2 π}{3})) - (- 3 \sin (\frac{2 π}{3}))}{12}$

Этап 11.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 π \cos (\frac{2 π}{3})) - (- 3 \sin (\frac{2 π}{3}))$ .

$\frac{- (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))}{12}$

Этап 11.14

Перепишем $- (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))$ в виде $- 1 (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))$ .

$\frac{- 1 (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))}{12}$

Этап 11.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{2 π (- \cos (\frac{π}{3})) - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 12.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2 π (- \frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$- \frac{2 π \frac{- 1}{2} - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 12.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$- \frac{2 (π) \frac{- 1}{2} - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 12.3.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 π \frac{- 1}{2} - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 12.3.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{π \cdot - 1 - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 12.4

Перенесем $- 1$ влево от $π$ .

$- \frac{- 1 \cdot π - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 12.5

Перепишем $- 1 π$ в виде $- π$ .

$- \frac{- π - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Этап 12.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{- π - 3 \sin (\frac{π}{3})}{12}$

Этап 12.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{- π - 3 \frac{\sqrt{3}}{2}}{12}$

Этап 12.8

Объединим $- 3$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{- π + \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Этап 12.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{- π - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Этап 12.9.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{- π \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Этап 12.9.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{- π \cdot 2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Этап 12.9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{- π \cdot 2 - 3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Этап 12.9.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Этап 12.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{12})$

Этап 12.11

Умножим $\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.11.1

Умножим $\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2 \cdot 12}$

Этап 12.11.2

Умножим $2$ на $12$ .

$- \frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{24}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{24}$

Десятичная форма:

$0.47830573 \dots$