Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.7

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.8

Объединим $2$ и $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.9

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.10

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.11.4

Разделим $5 x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 2.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 2.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 2.3.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Этап 2.3.8

Объединим $5$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 2.3.9

Умножим $3$ на $5$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.6.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.7

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.8

Объединим $2$ и $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.9

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.10

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.11.4

Разделим $5 x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Этап 4.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- x$ из $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- 2 x$ .

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ .

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ к $0$ .

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 5.5.2

Решим $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Этап 5.5.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Упростим ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.3.1.1.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.3.1.1.4

Упростим.

$25 x = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$25 x = 4$

Этап 5.5.2.4

Разделим каждый член $25 x = 4$ на $25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Разделим каждый член $25 x = 4$ на $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Этап 5.5.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.2.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Этап 5.5.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{25}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

Этап 6.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} < 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 6.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 9.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Этап 9.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Этап 9.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

Этап 9.1.1.4

Найдем экспоненту.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

Этап 9.1.2

Умножим $15$ на $0$ .

$- 2 + \frac{0}{2}$

Этап 9.1.3

Разделим $0$ на $2$ .

$- 2 + 0$

Этап 9.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Этап 11.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 11.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{4}{25}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{25}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 13.1.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 13.1.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 13.1.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 13.1.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 13.1.1.2.4

Найдем экспоненту.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 13.1.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 13.1.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Этап 13.1.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Этап 13.1.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

Этап 13.1.1.3.4

Найдем экспоненту.

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

Этап 13.1.2

Объединим $15$ и $\frac{2}{5}$ .

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

Этап 13.1.3

Умножим $15$ на $2$ .

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

Этап 13.1.4

Разделим $30$ на $5$ .

$- 2 + \frac{6}{2}$

Этап 13.1.5

Разделим $6$ на $2$ .

$- 2 + 3$

Этап 13.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1$

Этап 14

$x = \frac{4}{25}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{4}{25}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{4}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.2.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.3.4

Возведем $5$ в степень $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.4

Умножим $2 (\frac{32}{3125})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{32}{3125}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.4.2

Умножим $2$ на $32$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Этап 15.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

Этап 15.2.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

Этап 15.2.1.7

Возведем $25$ в степень $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $- \frac{16}{625}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 15.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3125$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{16}{625}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Этап 15.2.3.2

Умножим $625$ на $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $- 16$ на $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $80$ из $64$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

Этап 15.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

Этап 15.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{16}{3125}$ .

$y = - \frac{16}{3125}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ — локальный максимум

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ — локальный минимум

Этап 17