Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{7}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$4 x + 3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 1.3.3

Умножим $7$ на $3$ .

$4 x + 21 x^{6} + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 1.4

Поскольку $19$ является константой относительно $x$ , производная $19$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 21 x^{6} + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $4 x + 21 x^{6}$ и $0$ .

$4 x + 21 x^{6}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$21 x^{6} + 4 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $21 x^{6} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [21 x^{6}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (21 x^{6}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [21 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 x^{6}$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 21 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$f'' (x) = 21 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $6$ на $21$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + 4 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$21 x^{6} + 4 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{7}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$4 x + 3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $7$ на $3$ .

$4 x + 21 x^{6} + \frac{d}{d x} [19]$

Этап 4.1.4

Поскольку $19$ является константой относительно $x$ , производная $19$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 21 x^{6} + 0$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Добавим $4 x + 21 x^{6}$ и $0$ .

$4 x + 21 x^{6}$

Этап 4.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 21 x^{6} + 4 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $21 x^{6} + 4 x$ .

$21 x^{6} + 4 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $21 x^{6} + 4 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$21 x^{6} + 4 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x$ из $21 x^{6} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $21 x^{6}$ .

$x (21 x^{5}) + 4 x = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$x (21 x^{5}) + x \cdot 4 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (21 x^{5}) + x \cdot 4$ .

$x (21 x^{5} + 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$21 x^{5} + 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $21 x^{5} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $21 x^{5} + 4$ к $0$ .

$21 x^{5} + 4 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $21 x^{5} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$21 x^{5} = - 4$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $21 x^{5} = - 4$ на $21$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $21 x^{5} = - 4$ на $21$ .

$\frac{21 x^{5}}{21} = \frac{- 4}{21}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{21 x^{5}}{21} = \frac{- 4}{21}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} = \frac{- 4}{21}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{5} = - \frac{4}{21}$

Этап 5.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[5]{- \frac{4}{21}}$

Этап 5.5.2.4

Упростим $\sqrt[5]{- \frac{4}{21}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Перепишем $- \frac{4}{21}$ в виде ${({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{4}{21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \frac{4}{21}}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{4}{21}}$

Этап 5.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = {(- 1)}^{5} \sqrt[5]{\frac{4}{21}}$

Этап 5.5.2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$x = - \sqrt[5]{\frac{4}{21}}$

Этап 5.5.2.4.4

Перепишем $\sqrt[5]{\frac{4}{21}}$ в виде $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$

Этап 5.5.2.4.5

Умножим $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{4}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{4}})$

Этап 5.5.2.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{\sqrt[5]{21} {\sqrt[5]{21}}^{4}}$

Этап 5.5.2.4.6.2

Возведем $\sqrt[5]{21}$ в степень $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{1} {\sqrt[5]{21}}^{4}}$

Этап 5.5.2.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{1 + 4}}$

Этап 5.5.2.4.6.4

Добавим $1$ и $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{5}}$

Этап 5.5.2.4.6.5

Перепишем ${\sqrt[5]{21}}^{5}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{21}$ в виде $21^{\frac{1}{5}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{(21^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{\frac{5}{5}}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{\frac{5}{5}}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{1}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.5

Найдем экспоненту.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21}$

Этап 5.5.2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.7.1

Перепишем ${\sqrt[5]{21}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{21^{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{21^{4}}}{21}$

Этап 5.5.2.4.7.2

Возведем $21$ в степень $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{194481}}{21}$

Этап 5.5.2.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4 \cdot 194481}}{21}$

Этап 5.5.2.4.8.2

Умножим $4$ на $194481$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (21 x^{5} + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$126 {(0)}^{5} + 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$126 \cdot 0 + 4$

Этап 9.1.2

Умножим $126$ на $0$ .

$0 + 4$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $4$ .

$4$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{7} + 19$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + 3 {(0)}^{7} + 19$

Этап 11.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{7} + 19$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0 + 19$

Этап 11.2.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 19$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 19$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $19$ .

$f (0) = 19$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $19$ .

$y = 19$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$126 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{5} + 4$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$126 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{5}) + 4$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$126 ({(- 1)}^{5} \frac{{\sqrt[5]{777924}}^{5}}{21^{5}}) + 4$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$126 (- \frac{{\sqrt[5]{777924}}^{5}}{21^{5}}) + 4$

Этап 13.1.3

Перепишем ${\sqrt[5]{777924}}^{5}$ в виде $777924$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{777924}$ в виде $777924^{\frac{1}{5}}$ .

$126 (- \frac{{(777924^{\frac{1}{5}})}^{5}}{21^{5}}) + 4$

Этап 13.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$126 (- \frac{777924^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{21^{5}}) + 4$

Этап 13.1.3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$126 (- \frac{777924^{\frac{5}{5}}}{21^{5}}) + 4$

Этап 13.1.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$126 (- \frac{777924^{\frac{5}{5}}}{21^{5}}) + 4$

Этап 13.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$126 (- \frac{777924^{1}}{21^{5}}) + 4$

Этап 13.1.3.5

Найдем экспоненту.

$126 (- \frac{777924}{21^{5}}) + 4$

Этап 13.1.4

Возведем $21$ в степень $5$ .

$126 (- \frac{777924}{4084101}) + 4$

Этап 13.1.5

Сократим общий множитель $63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{777924}{4084101}$ в числитель.

$126 (\frac{- 777924}{4084101}) + 4$

Этап 13.1.5.2

Вынесем множитель $63$ из $126$ .

$63 (2) \frac{- 777924}{4084101} + 4$

Этап 13.1.5.3

Вынесем множитель $63$ из $4084101$ .

$63 \cdot 2 \frac{- 777924}{63 \cdot 64827} + 4$

Этап 13.1.5.4

Сократим общий множитель.

$63 \cdot 2 \frac{- 777924}{63 \cdot 64827} + 4$

Этап 13.1.5.5

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{- 777924}{64827}) + 4$

Этап 13.1.6

Объединим $2$ и $\frac{- 777924}{64827}$ .

$\frac{2 \cdot - 777924}{64827} + 4$

Этап 13.1.7

Умножим $2$ на $- 777924$ .

$\frac{- 1555848}{64827} + 4$

Этап 13.1.8

Разделим $- 1555848$ на $64827$ .

$- 24 + 4$

Этап 13.2

Добавим $- 24$ и $4$ .

$- 20$

Этап 14

$x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{2} + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{2}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}})) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (1 (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}})) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.3

Умножим $\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Перепишем ${\sqrt[5]{777924}}^{2}$ в виде $\sqrt[5]{777924^{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{777924^{2}}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.4.2

Возведем $777924$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{605165749776}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.4.3

Перепишем $605165749776$ в виде $21^{5} \cdot 148176$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.3.1

Вынесем множитель $4084101$ из $605165749776$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{4084101 (148176)}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.4.3.2

Перепишем $4084101$ в виде $21^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{21^{5} \cdot 148176}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.5

Возведем $21$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{441}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.6

Сократим общий множитель $21$ и $441$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Вынесем множитель $21$ из $21 \sqrt[5]{148176}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 (\sqrt[5]{148176})}{441}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $21$ из $441$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{21 \cdot 21}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{21 \cdot 21}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{148176}}{21}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.7

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt[5]{148176}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Этап 15.2.1.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 ({(- 1)}^{7} {(\frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7}) + 19$

Этап 15.2.1.8.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 ({(- 1)}^{7} (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{7}}{21^{7}})) + 19$

Этап 15.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{{\sqrt[5]{777924}}^{7}}{21^{7}}) + 19$

Этап 15.2.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Перепишем ${\sqrt[5]{777924}}^{7}$ в виде $\sqrt[5]{777924^{7}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{\sqrt[5]{777924^{7}}}{21^{7}}) + 19$

Этап 15.2.1.10.2

Вынесем $777924^{5}$ за скобки.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{\sqrt[5]{777924^{5} \cdot 777924^{2}}}{21^{7}}) + 19$

Этап 15.2.1.10.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{777924^{2}}}{21^{7}}) + 19$

Этап 15.2.1.10.4

Возведем $777924$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{605165749776}}{21^{7}}) + 19$

Этап 15.2.1.10.5

Перепишем $605165749776$ в виде $21^{5} \cdot 148176$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.5.1

Вынесем множитель $4084101$ из $605165749776$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{4084101 (148176)}}{21^{7}}) + 19$

Этап 15.2.1.10.5.2

Перепишем $4084101$ в виде $21^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{21^{5} \cdot 148176}}{21^{7}}) + 19$

Этап 15.2.1.10.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 (21 \sqrt[5]{148176})}{21^{7}}) + 19$

Этап 15.2.1.10.7

Умножим $21$ на $777924$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{16336404 \sqrt[5]{148176}}{21^{7}}) + 19$

Этап 15.2.1.11

Возведем $21$ в степень $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{16336404 \sqrt[5]{148176}}{1801088541}) + 19$

Этап 15.2.1.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{16336404 \sqrt[5]{148176}}{1801088541}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (\frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{1801088541}) + 19$

Этап 15.2.1.12.2

Вынесем множитель $3$ из $1801088541$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (\frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{3 (600362847)}) + 19$

Этап 15.2.1.12.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (\frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{3 \cdot 600362847}) + 19$

Этап 15.2.1.12.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{600362847} + 19$

Этап 15.2.1.13

Сократим общий множитель $- 16336404$ и $600362847$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.1

Вынесем множитель $4084101$ из $- 16336404 \sqrt[5]{148176}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{4084101 (- 4 \sqrt[5]{148176})}{600362847} + 19$

Этап 15.2.1.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.2.1

Вынесем множитель $4084101$ из $600362847$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{4084101 (- 4 \sqrt[5]{148176})}{4084101 (147)} + 19$

Этап 15.2.1.13.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{4084101 (- 4 \sqrt[5]{148176})}{4084101 \cdot 147} + 19$

Этап 15.2.1.13.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{- 4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Этап 15.2.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $\frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Этап 15.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $147$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21}$ на $\frac{7}{7}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176} \cdot 7}{21 \cdot 7} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Этап 15.2.3.2

Умножим $21$ на $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176} \cdot 7}{147} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176} \cdot 7 - 4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $7$ на $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{14 \sqrt[5]{148176} - 4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $4 \sqrt[5]{148176}$ из $14 \sqrt[5]{148176}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$ .

$y = \frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$ .

$(0, 19)$ — локальный минимум

$(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}, \frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19)$ — локальный максимум

Этап 17