Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ .

$2 ((x - 1) \frac{d}{d x} [15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1] + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.2

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{3}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 ((x - 1) (15 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 ((x - 1) (15 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.4

Умножим $3$ на $15$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.7

Умножим $2$ на $5$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.10

Умножим $- 7$ на $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + 0) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.12

Добавим $45 x^{2} + 10 x - 7$ и $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 1.3.13

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.3.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + 0))$

Этап 1.3.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.16.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \cdot 1)$

Этап 1.3.16.2

Умножим $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ на $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7)) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 ((x - 1) (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + x \cdot - 7 - 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (45 x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (45 (x^{1} x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (45 x^{1 + 2}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 (45 x^{3}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.4

Умножим $45$ на $2$ .

$90 x^{3} + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.5

Умножим $45$ на $- 1$ .

$90 x^{3} + 2 (- 45 x^{2}) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.6

Умножим $- 45$ на $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{1 + 1}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.10

Добавим $1$ и $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{2}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.11

Умножим $10$ на $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.12

Умножим $10$ на $- 1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.13

Умножим $- 10$ на $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.14

Добавим $- 90 x^{2}$ и $20 x^{2}$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.15

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (- 7 \cdot x) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.16

Умножим $- 7$ на $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.17

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 \cdot 7 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.18

Умножим $2$ на $7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.19

Вычтем $14 x$ из $- 20 x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.20

Умножим $15$ на $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 30 x^{3} + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.21

Добавим $90 x^{3}$ и $30 x^{3}$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.22

Умножим $5$ на $2$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 10 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.23

Добавим $- 70 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.24

Умножим $- 7$ на $2$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 - 14 x + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.25

Вычтем $14 x$ из $- 34 x$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 + 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.7.26

Умножим $2$ на $- 1$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 - 2$

Этап 1.4.7.27

Вычтем $2$ из $14$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (120 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [120 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120 x^{3}$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 120 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 120 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $120$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x^{2}$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 60 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 60$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.4.3

Умножим $- 48$ на $1$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $360 x^{2} - 120 x - 48$ и $0$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$

Этап 4.1.2

$2 ((x - 1) \frac{d}{d x} [15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1] + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

$2 ((x - 1) (\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{3}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 ((x - 1) (15 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 ((x - 1) (15 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.4

Умножим $3$ на $15$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.7

Умножим $2$ на $5$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.8

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.10

Умножим $- 7$ на $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + 0) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.12

Добавим $45 x^{2} + 10 x - 7$ и $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.1.3.13

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 4.1.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 4.1.3.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + 0))$

Этап 4.1.3.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.16.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \cdot 1)$

Этап 4.1.3.16.2

Умножим $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ на $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7)) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 ((x - 1) (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + x \cdot - 7 - 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (45 x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.7.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (45 (x^{1} x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (45 x^{1 + 2}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 (45 x^{3}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.4

Умножим $45$ на $2$ .

$90 x^{3} + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.5

Умножим $45$ на $- 1$ .

$90 x^{3} + 2 (- 45 x^{2}) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.6

Умножим $- 45$ на $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{1 + 1}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.10

Добавим $1$ и $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{2}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.11

Умножим $10$ на $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.12

Умножим $10$ на $- 1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.13

Умножим $- 10$ на $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.14

Добавим $- 90 x^{2}$ и $20 x^{2}$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.15

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (- 7 \cdot x) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.16

Умножим $- 7$ на $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.17

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 \cdot 7 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.18

Умножим $2$ на $7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.19

Вычтем $14 x$ из $- 20 x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.20

Умножим $15$ на $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 30 x^{3} + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.21

Добавим $90 x^{3}$ и $30 x^{3}$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.22

Умножим $5$ на $2$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 10 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.23

Добавим $- 70 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.24

Умножим $- 7$ на $2$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 - 14 x + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.25

Вычтем $14 x$ из $- 34 x$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 + 2 \cdot - 1$

Этап 4.1.4.7.26

Умножим $2$ на $- 1$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 - 2$

Этап 4.1.4.7.27

Вычтем $2$ из $14$ .

$f' (x) = 120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 0.55223569, 0.21673477, 0.83550091$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 0.55223569, 0.21673477, 0.83550091$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 0.55223569$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$360 {(- 0.55223569)}^{2} - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 0.55223569$ в степень $2$ .

$360 \cdot 0.30496425 - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Этап 9.1.2

Умножим $360$ на $0.30496425$ .

$109.78713273 - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Этап 9.1.3

Умножим $- 120$ на $- 0.55223569$ .

$109.78713273 + 66.26828283 - 48$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $109.78713273$ и $66.26828283$ .

$176.05541557 - 48$

Этап 9.2.2

Вычтем $48$ из $176.05541557$ .

$128.05541557$

Этап 10

$x = - 0.55223569$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 0.55223569$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 0.55223569$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = 2 ((- 0.55223569) - 1) (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вычтем $1$ из $- 0.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = 2 \cdot (- 1.55223569 (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1))$

Этап 11.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $- 0.55223569$ в степень $3$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (15 \cdot - 0.16841214 + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Этап 11.2.2.2

Умножим $15$ на $- 0.16841214$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Этап 11.2.2.3

Возведем $- 0.55223569$ в степень $2$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 5 \cdot 0.30496425 - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Этап 11.2.2.4

Умножим $5$ на $0.30496425$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 1.52482128 - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Этап 11.2.2.5

Умножим $- 7$ на $- 0.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 1.52482128 + 3.86564983 - 1)$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Добавим $- 2.5261822$ и $1.52482128$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 1.00136092 + 3.86564983 - 1)$

Этап 11.2.3.2

Добавим $- 1.00136092$ и $3.86564983$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (2.86428891 - 1)$

Этап 11.2.3.3

Вычтем $1$ из $2.86428891$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 \cdot 1.86428891$

Этап 11.2.3.4

Умножим $- 3.10447138$ на $1.86428891$ .

$f (- 0.55223569) = - 5.78763156$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $- 5.78763156$ .

$y = - 5.78763156$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0.21673477$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$360 {(0.21673477)}^{2} - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $0.21673477$ в степень $2$ .

$360 \cdot 0.04697396 - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Этап 13.1.2

Умножим $360$ на $0.04697396$ .

$16.91062653 - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Этап 13.1.3

Умножим $- 120$ на $0.21673477$ .

$16.91062653 - 26.00817297 - 48$

Этап 13.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $26.00817297$ из $16.91062653$ .

$- 9.09754643 - 48$

Этап 13.2.2

Вычтем $48$ из $- 9.09754643$ .

$- 57.09754643$

Этап 14

$x = 0.21673477$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.21673477$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 0.21673477$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.21673477$ .

$f (0.21673477) = 2 ((0.21673477) - 1) (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Вычтем $1$ из $0.21673477$ .

$f (0.21673477) = 2 \cdot (- 0.78326522 (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1))$

Этап 15.2.1.2

Умножим $2$ на $- 0.78326522$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Этап 15.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Возведем $0.21673477$ в степень $3$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (15 \cdot 0.01018089 + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Этап 15.2.2.2

Умножим $15$ на $0.01018089$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Этап 15.2.2.3

Возведем $0.21673477$ в степень $2$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 5 \cdot 0.04697396 - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Этап 15.2.2.4

Умножим $5$ на $0.04697396$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 0.23486981 - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Этап 15.2.2.5

Умножим $- 7$ на $0.21673477$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 0.23486981 - 1.51714342 - 1)$

Этап 15.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Добавим $0.15271336$ и $0.23486981$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.38758318 - 1.51714342 - 1)$

Этап 15.2.3.2

Вычтем $1.51714342$ из $0.38758318$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (- 1.12956024 - 1)$

Этап 15.2.3.3

Вычтем $1$ из $- 1.12956024$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 \cdot - 2.12956024$

Этап 15.2.3.4

Умножим $- 1.56653045$ на $- 2.12956024$ .

$f (0.21673477) = 3.33602096$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $3.33602096$ .

$y = 3.33602096$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 0.83550091$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$360 {(0.83550091)}^{2} - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $0.83550091$ в степень $2$ .

$360 \cdot 0.69806177 - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Этап 17.1.2

Умножим $360$ на $0.69806177$ .

$251.30224072 - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Этап 17.1.3

Умножим $- 120$ на $0.83550091$ .

$251.30224072 - 100.26010986 - 48$

Этап 17.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $100.26010986$ из $251.30224072$ .

$151.04213086 - 48$

Этап 17.2.2

Вычтем $48$ из $151.04213086$ .

$103.04213086$

Этап 18

$x = 0.83550091$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.83550091$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 0.83550091$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.83550091$ .

$f (0.83550091) = 2 ((0.83550091) - 1) (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Вычтем $1$ из $0.83550091$ .

$f (0.83550091) = 2 \cdot (- 0.16449908 (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1))$

Этап 19.2.1.2

Умножим $2$ на $- 0.16449908$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Этап 19.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Возведем $0.83550091$ в степень $3$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (15 \cdot 0.58323125 + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Этап 19.2.2.2

Умножим $15$ на $0.58323125$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Этап 19.2.2.3

Возведем $0.83550091$ в степень $2$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 5 \cdot 0.69806177 - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Этап 19.2.2.4

Умножим $5$ на $0.69806177$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 3.49030889 - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Этап 19.2.2.5

Умножим $- 7$ на $0.83550091$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 3.49030889 - 5.8485064 - 1)$

Этап 19.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1

Добавим $8.74846884$ и $3.49030889$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (12.23877774 - 5.8485064 - 1)$

Этап 19.2.3.2

Вычтем $5.8485064$ из $12.23877774$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (6.39027133 - 1)$

Этап 19.2.3.3

Вычтем $1$ из $6.39027133$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 \cdot 5.39027133$

Этап 19.2.3.4

Умножим $- 0.32899816$ на $5.39027133$ .

$f (0.83550091) = - 1.77338939$

Этап 19.2.4

Окончательный ответ: $- 1.77338939$ .

$y = - 1.77338939$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ .

$(- 0.55223569, - 5.78763156)$ — локальный минимум

$(0.21673477, 3.33602096)$ — локальный максимум

$(0.83550091, - 1.77338939)$ — локальный минимум

Этап 21