Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.2.5

Поскольку $6 y$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3} y$ по $x$ равна $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.2.7

Умножим $3$ на $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.3

Поскольку $4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 1.5

Поскольку $10 y$ является константой относительно $x$ , производная $10 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Добавим $18 y x^{2}$ и $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Этап 1.6.1.2

Добавим $18 y x^{2} - 2$ и $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Этап 1.6.2

Изменим порядок членов.

$18 x^{2} y - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $18 x^{2} y - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (18 x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $18 y$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2} y$ по $x$ равна $18 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 18 y \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 y (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $18$ .

$f'' (x) = 36 y x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 36 y x + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $36 y x$ и $0$ .

$f'' (x) = 36 y x$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $36 y x$ .

$f'' (x) = 36 x y$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $6 y$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3} y$ по $x$ равна $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.2.7

Умножим $3$ на $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.3

Поскольку $4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Этап 4.1.5

Поскольку $10 y$ является константой относительно $x$ , производная $10 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Добавим $18 y x^{2}$ и $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Этап 4.1.6.1.2

Добавим $18 y x^{2} - 2$ и $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Этап 4.1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 18 x^{2} y - 2$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $18 x^{2} y - 2$ .

$18 x^{2} y - 2$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $18 x^{2} y - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$18 x^{2} y = 2$

Этап 5.3

Разделим каждый член $18 x^{2} y = 2$ на $18 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $18 x^{2} y = 2$ на $18 y$ .

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{18 y}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{18 y}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18 y$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{2 (9 y)}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 (9 y)}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{1}{9 y}$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\frac{1}{9 y}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{9 y}}$

Этап 5.5.1.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9 y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}}$

Этап 5.5.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}}$

Этап 5.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{1}{y}}$

Этап 5.5.3

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{y}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$

Этап 5.5.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}}$

Этап 5.5.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Этап 5.5.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Этап 5.5.6.2

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Этап 5.5.6.3

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Этап 5.5.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.5.6.6

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{1}}$

Этап 5.5.6.6.5

Упростим.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y}$

Этап 5.5.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 (\frac{\sqrt{y}}{3 y}) y$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 (y)} y$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 12 \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Этап 9.1.4

Перепишем это выражение.

$12 \frac{\sqrt{y}}{y} y$

Этап 9.2

Объединим $12$ и $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Этап 9.3.2

Перепишем это выражение.

$12 \sqrt{y}$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в первую производную $18 x^{2} y - 2$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 18 {(0)}^{2} y - 2$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 18 \cdot (0 y) - 2$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $18$ на $0$ .

$f' (0) = 0 y - 2$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $0$ на $y$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$f' (0) = - 2$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 10.3

Локальный минимум или минимум для $f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11