Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 7 x - 11 y$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 7 x - 11 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.4

Поскольку $4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.5.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 7 + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 1.6

Поскольку $- 11 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 7 + 0$

Этап 1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $4 x + 3 y$ и $0$ .

$4 x + 3 y - 7 + 0$

Этап 1.7.2

Добавим $4 x + 3 y - 7$ и $0$ .

$4 x + 3 y - 7$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x + 3 y - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x + 3 y - 7 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.4

Поскольку $4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 7 + \frac{d}{d x} [- 11 y]$

Этап 4.1.6

Поскольку $- 11 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 7 + 0$

Этап 4.1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Добавим $4 x + 3 y$ и $0$ .

$4 x + 3 y - 7 + 0$

Этап 4.1.7.2

Добавим $4 x + 3 y - 7$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y - 7$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x + 3 y - 7$ .

$4 x + 3 y - 7$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x + 3 y - 7 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x + 3 y - 7 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$4 x - 7 = - 3 y$

Этап 5.2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$4 x = - 3 y + 7$

Этап 5.3

Разделим каждый член $4 x = - 3 y + 7$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4 x = - 3 y + 7$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{7}{4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{7}{4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{4} + \frac{7}{4}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4$

Этап 9

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 {(- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Перепишем ${(- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4})}^{2}$ в виде $(- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4})$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 ((- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.2

Развернем $(- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.1

Умножим $- \frac{3 y}{4} (- \frac{3 y}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (1 (\frac{3 y}{4}) \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.2

Умножим $\frac{3 y}{4}$ на $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{3 y}{4} \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.3

Умножим $\frac{3 y}{4}$ на $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{3 y (3 y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y \cdot y}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 (y \cdot y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

Этап 10.2.1.3.1.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{1 + 1}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.9

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.2

Умножим $- \frac{3 y}{4} \cdot \frac{7}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.2.1

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{7 (3 y)}{4 \cdot 4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.2.2

Умножим $3$ на $7$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{21 y}{4 \cdot 4} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.2.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{21 y}{16} + \frac{7}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.3

Умножим $\frac{7}{4} (- \frac{3 y}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.3.1

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{21 y}{16} - \frac{7 (3 y)}{4 \cdot 4} + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.3.2

Умножим $3$ на $7$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{21 y}{16} - \frac{21 y}{4 \cdot 4} + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.3.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{21 y}{16} - \frac{21 y}{16} + \frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.4

Умножим $\frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.4.1

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{21 y}{16} - \frac{21 y}{16} + \frac{7 \cdot 7}{4 \cdot 4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.4.2

Умножим $7$ на $7$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{21 y}{16} - \frac{21 y}{16} + \frac{49}{4 \cdot 4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.1.4.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{21 y}{16} - \frac{21 y}{16} + \frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.3.2

Вычтем $\frac{21 y}{16}$ из $- \frac{21 y}{16}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 2 \frac{21 y}{16} + \frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 (- 1) (\frac{21 y}{16}) + \frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{21 y}{2 \cdot 8}) + \frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.4.1.3

Сократим общий множитель.

Этап 10.2.1.4.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 1 \frac{21 y}{8} + \frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.4.2

Перепишем $- 1 \frac{21 y}{8}$ в виде $- \frac{21 y}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{21 y}{8} + \frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16}) + 2 (- \frac{21 y}{8}) + 2 (\frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 (8)}) + 2 (- \frac{21 y}{8}) + 2 (\frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6.1.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 \cdot 8}) + 2 (- \frac{21 y}{8}) + 2 (\frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6.1.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (- \frac{21 y}{8}) + 2 (\frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{21 y}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 21 y}{8}) + 2 (\frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6.2.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 21 y}{2 (4)}) + 2 (\frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 21 y}{2 \cdot 4}) + 2 (\frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 21 y}{4} + 2 (\frac{49}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 21 y}{4} + 2 (\frac{49}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 21 y}{4} + 2 (\frac{49}{2 \cdot 8}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.6.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 21 y}{4} + \frac{49}{8} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} + (3 (- \frac{3 y}{4}) + 3 (\frac{7}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.9

Умножим $3 (- \frac{3 y}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} + (- 3 \frac{3 y}{4} + 3 (\frac{7}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.9.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} + (\frac{- 3 (3 y)}{4} + 3 (\frac{7}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.9.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} + (\frac{- 9 y}{4} + 3 (\frac{7}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.10

Умножим $3 (\frac{7}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.10.1

Объединим $3$ и $\frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} + (\frac{- 9 y}{4} + \frac{3 \cdot 7}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.10.2

Умножим $3$ на $7$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} + (\frac{- 9 y}{4} + \frac{21}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} + (- \frac{9 y}{4} + \frac{21}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y}{4} \cdot y + \frac{21}{4} y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.13

Умножим $- \frac{9 y}{4} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.13.1

Объединим $y$ и $\frac{9 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{y (9 y)}{4} + \frac{21}{4} y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.13.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{21}{4} y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.13.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{21}{4} y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{1 + 1}}{4} + \frac{21}{4} y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.13.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21}{4} y + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.14

Объединим $\frac{21}{4}$ и $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21 y}{4} + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.15

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21 y}{4} + 4 y^{2} - 7 (- \frac{3 y}{4}) - 7 (\frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.16

Умножим $- 7 (- \frac{3 y}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.16.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21 y}{4} + 4 y^{2} + 7 (\frac{3 y}{4}) - 7 (\frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.16.2

Объединим $7$ и $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{7 (3 y)}{4} - 7 (\frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.16.3

Умножим $3$ на $7$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} - 7 (\frac{7}{4}) - 11 y$

Этап 10.2.1.17

Умножим $- 7 (\frac{7}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.17.1

Объединим $- 7$ и $\frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{4} - 11 y$

Этап 10.2.1.17.2

Умножим $- 7$ на $7$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 49}{4} - 11 y$

Этап 10.2.1.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4} - 11 y$

Этап 10.2.2

Объединим противоположные члены в $\frac{9 y^{2}}{8} - \frac{21 y}{4} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{21 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4} - 11 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Добавим $- \frac{21 y}{4}$ и $\frac{21 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + 0 + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4} - 11 y$

Этап 10.2.2.2

Добавим $\frac{9 y^{2}}{8} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4}$ и $0$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{49}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4} - 11 y$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $- \frac{9 y^{2}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{49}{8} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4} - 11 y$

Этап 10.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Умножим $\frac{9 y^{2}}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{49}{8} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4} - 11 y$

Этап 10.2.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{49}{8} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4} - 11 y$

Этап 10.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{49}{8} + 4 y^{2} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4} - 11 y$

Этап 10.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 4 y^{2} - 11 y + \frac{9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2 + 49}{8} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 49}{4}$

Этап 10.2.5.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 4 y^{2} - 11 y + \frac{9 y^{2} - 18 y^{2} + 49}{8} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 49}{4}$

Этап 10.2.5.4

Вычтем $18 y^{2}$ из $9 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 4 y^{2} - 11 y + \frac{- 9 y^{2} + 49}{8} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 49}{4}$

Этап 10.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 4 y^{2} - 11 y + \frac{- 9 y^{2} + 7^{2}}{8} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 49}{4}$

Этап 10.2.6.1.2

Перепишем $9 y^{2}$ в виде ${(3 y)}^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 4 y^{2} - 11 y + \frac{- {(3 y)}^{2} + 7^{2}}{8} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 49}{4}$

Этап 10.2.6.1.3

Изменим порядок $- {(3 y)}^{2}$ и $7^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 4 y^{2} - 11 y + \frac{7^{2} - {(3 y)}^{2}}{8} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 49}{4}$

Этап 10.2.6.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 7$ и $b = 3 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 4 y^{2} - 11 y + \frac{(7 + 3 y) (7 - (3 y))}{8} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 49}{4}$

Этап 10.2.6.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 4 y^{2} - 11 y + \frac{(7 + 3 y) (7 - 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} + \frac{- 49}{4}$

Этап 10.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = 4 y^{2} - 11 y + \frac{(7 + 3 y) (7 - 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.7

Чтобы записать $4 y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + 4 y^{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{(7 + 3 y) (7 - 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.8.1

Объединим $4 y^{2}$ и $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{4 y^{2} \cdot 8}{8} + \frac{(7 + 3 y) (7 - 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{4 y^{2} \cdot 8 + (7 + 3 y) (7 - 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1

Умножим $8$ на $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + (7 + 3 y) (7 - 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.2

Развернем $(7 + 3 y) (7 - 3 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 7 (7 - 3 y) + 3 y (7 - 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 7 \cdot 7 + 7 (- 3 y) + 3 y (7 - 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 7 \cdot 7 + 7 (- 3 y) + 3 y \cdot 7 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.3

Объединим противоположные члены в $7 \cdot 7 + 7 (- 3 y) + 3 y \cdot 7 + 3 y (- 3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.3.1

Изменим порядок множителей в членах $7 (- 3 y)$ и $3 y \cdot 7$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 7 \cdot 7 - 3 \cdot (7 y) + 3 \cdot (7 y) + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.3.2

Добавим $- 3 \cdot 7 y$ и $3 \cdot 7 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 7 \cdot 7 + 0 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.3.3

Добавим $7 \cdot 7$ и $0$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 7 \cdot 7 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.4.1

Умножим $7$ на $7$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 49 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 49 + 3 \cdot (- 3 y \cdot y)}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.4.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.4.3.1

Перенесем $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 49 + 3 \cdot (- 3 (y \cdot y))}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.4.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 49 + 3 \cdot (- 3 y^{2})}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.4.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{32 y^{2} + 49 - 9 y^{2}}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.9.5

Вычтем $9 y^{2}$ из $32 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y + \frac{23 y^{2} + 49}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.10

Чтобы записать $- 11 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = - 11 y \cdot \frac{8}{8} + \frac{23 y^{2} + 49}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.11.1

Объединим $- 11 y$ и $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{- 11 y \cdot 8}{8} + \frac{23 y^{2} + 49}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.11.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{- 11 y \cdot 8 + 23 y^{2} + 49}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.12.1

Умножим $8$ на $- 11$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{- 88 y + 23 y^{2} + 49}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.12.2

Изменим порядок членов.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 88 y + 49}{8} + \frac{21 y}{4} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.13

Чтобы записать $\frac{21 y}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 88 y + 49}{8} + \frac{21 y}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.14

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.14.1

Умножим $\frac{21 y}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 88 y + 49}{8} + \frac{21 y \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.14.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 88 y + 49}{8} + \frac{21 y \cdot 2}{8} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 88 y + 49 + 21 y \cdot 2}{8} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.16.1

Умножим $2$ на $21$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 88 y + 49 + 42 y}{8} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.16.2

Добавим $- 88 y$ и $42 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 46 y + 49}{8} - \frac{49}{4}$

Этап 10.2.17

Чтобы записать $- \frac{49}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 46 y + 49}{8} - \frac{49}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.2.18

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.18.1

Умножим $\frac{49}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 46 y + 49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 10.2.18.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 46 y + 49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{8}$

Этап 10.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 46 y + 49 - 49 \cdot 2}{8}$

Этап 10.2.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.20.1

Умножим $- 49$ на $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 46 y + 49 - 98}{8}$

Этап 10.2.20.2

Вычтем $98$ из $49$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{23 y^{2} - 46 y - 49}{8}$

Этап 10.2.21

Окончательный ответ: $\frac{23 y^{2} - 46 y - 49}{8}$ .

$y = \frac{23 y^{2} - 46 y - 49}{8}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 7 x - 11 y$ .

$(- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{4}, \frac{23 y^{2} - 46 y - 49}{8})$ — локальный минимум

Этап 12