Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (x) + \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \sin (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 \sin (x) - 2 \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.3.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Этап 2.3.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 4 \cos (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 \sin (x) - 2 \sin (2 x) = 0$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$- 2 \sin (x) - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 2 \sin (x) - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 5

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin (x) - 4 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 1 - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) = 0$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Этап 7

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 7.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 7.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 7.2.5

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 8

Приравняем $- 1 - 2 \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $- 1 - 2 \cos (x)$ к $0$ .

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Этап 8.2

Решим $- 1 - 2 \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \cos (x) = 1$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Этап 8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 8.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 8.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 8.2.6

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 8.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 8.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 8.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 8.2.6.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 8.2.7

Решение уравнения $x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$ верно.

$x = 0, π, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (0) - 4 \cos (2 (0))$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 \cdot 1 - 4 \cos (2 (0))$

Этап 11.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 - 4 \cos (2 (0))$

Этап 11.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$- 2 - 4 \cos (0)$

Этап 11.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 - 4 \cdot 1$

Этап 11.1.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 2 - 4$

Этап 11.2

Вычтем $4$ из $- 2$ .

$- 6$

Этап 12

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \cos (0) + \cos (2 (0))$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + \cos (2 (0))$

Этап 13.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2 + \cos (2 (0))$

Этап 13.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 2 + \cos (0)$

Этап 13.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 2 + 1$

Этап 13.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (0) = 3$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 14

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (π) - 4 \cos (2 (π))$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 2 (- \cos (0)) - 4 \cos (2 (π))$

Этап 15.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) - 4 \cos (2 (π))$

Этап 15.1.3

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (π))$

Этап 15.1.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 - 4 \cos (2 (π))$

Этап 15.1.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 - 4 \cos (0)$

Этап 15.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 - 4 \cdot 1$

Этап 15.1.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 - 4$

Этап 15.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$- 2$

Этап 16

$x = π$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный максимум

Этап 17

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 2 \cos (π) + \cos (2 (π))$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + \cos (2 (π))$

Этап 17.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos (2 (π))$

Этап 17.2.1.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + \cos (2 (π))$

Этап 17.2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (π) = - 2 + \cos (2 (π))$

Этап 17.2.1.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (π) = - 2 + \cos (0)$

Этап 17.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 2 + 1$

Этап 17.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f (π) = - 1$

Этап 17.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 18

Найдем вторую производную в $x = \frac{2 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (\frac{2 π}{3}) - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 19

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

$- 2 (- \cos (\frac{π}{3})) - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 19.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 19.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 19.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 19.1.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 19.1.3.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 19.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 19.1.5

Умножим $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$1 - 4 \cos (\frac{2 (2 π)}{3})$

Этап 19.1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$1 - 4 \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 19.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$1 - 4 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Этап 19.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 19.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$1 - 4 (\frac{- 1}{2})$

Этап 19.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$1 + 2 (- 2) \frac{- 1}{2}$

Этап 19.1.8.3

Сократим общий множитель.

$1 + 2 \cdot - 2 \frac{- 1}{2}$

Этап 19.1.8.4

Перепишем это выражение.

$1 - 2 \cdot - 1$

Этап 19.1.9

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$1 + 2$

Этап 19.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3$

Этап 20

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум

Этап 21

Найдем значение y, если $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 21.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.1

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 21.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (- \frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 21.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (\frac{- 1}{2}) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 21.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (\frac{- 1}{2}) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 21.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 21.2.1.4

Умножим $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{2 (2 π)}{3})$

Этап 21.2.1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 21.2.1.5

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Этап 21.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 21.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 21.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 21.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Этап 21.2.5.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3}{2}$

Этап 21.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2}$

Этап 21.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Этап 22

Найдем вторую производную в $x = \frac{4 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (\frac{4 π}{3}) - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 23

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.1

$- 2 (- \cos (\frac{π}{3})) - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 23.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 23.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 23.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 23.1.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 23.1.3.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 23.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 23.1.5

Умножим $2 (\frac{4 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$1 - 4 \cos (\frac{2 (4 π)}{3})$

Этап 23.1.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$1 - 4 \cos (\frac{8 π}{3})$

Этап 23.1.6

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$1 - 4 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 23.1.7

$1 - 4 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Этап 23.1.8

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 23.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$1 - 4 (\frac{- 1}{2})$

Этап 23.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$1 + 2 (- 2) \frac{- 1}{2}$

Этап 23.1.9.3

Сократим общий множитель.

$1 + 2 \cdot - 2 \frac{- 1}{2}$

Этап 23.1.9.4

Перепишем это выражение.

$1 - 2 \cdot - 1$

Этап 23.1.10

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$1 + 2$

Этап 23.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3$

Этап 24

$x = \frac{4 π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{4 π}{3}$ — локальный минимум

Этап 25

Найдем значение y, если $x = \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 25.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1.1

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 25.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 25.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- 1}{2}) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 25.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- 1}{2}) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 25.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 25.2.1.4

Умножим $2 (\frac{4 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{2 (4 π)}{3})$

Этап 25.2.1.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{8 π}{3})$

Этап 25.2.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.2.1.6

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 25.2.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Этап 25.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 25.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 25.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 25.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Этап 25.2.5.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 3}{2}$

Этап 25.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2}$

Этап 25.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Этап 26

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 \cos (x) + \cos (2 x)$ .

$(0, 3)$ — локальный максимум

$(π, - 1)$ — локальный максимум

$(\frac{2 π}{3}, - \frac{3}{2})$ — локальный минимум

$(\frac{4 π}{3}, - \frac{3}{2})$ — локальный минимум

Этап 27