Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Этап 1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

Этап 1.4.2.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

Этап 1.4.2.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 5

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 7.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 7.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 7.2.5

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 8

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $\cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 1$

Этап 8.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 8.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 8.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 8.2.6

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 0, π, 2 π$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

Этап 11.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

Этап 11.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 2 \cos (0)$

Этап 11.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 - 2 \cdot 1$

Этап 11.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 - 2$

Этап 11.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 12

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Этап 12.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Этап 12.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

Этап 12.2.2.1.2

Найдем значение $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Этап 12.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Этап 12.2.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

Этап 12.2.2.2

Добавим $0.75680249$ и $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 2.57539734$

Этап 12.2.2.3

Окончательный ответ: $2.57539734$ .

$2.57539734$

Этап 12.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, π)$ в первую производную $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

Этап 12.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

Этап 12.3.2.1.2

Найдем значение $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Этап 12.3.2.1.3

Найдем значение $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Этап 12.3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $0.90929742$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

Этап 12.3.2.2

Вычтем $1.81859485$ из $- 0.75680249$ .

$f' (2) = - 2.57539734$

Этап 12.3.2.3

Окончательный ответ: $- 2.57539734$ .

$- 2.57539734$

Этап 12.4

Подставим любое число такое, что $5$ , из интервала $(π, 2 π)$ в первую производную $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

Этап 12.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

Этап 12.4.2.1.2

Найдем значение $\sin (10)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

Этап 12.4.2.1.3

Найдем значение $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

Этап 12.4.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

Этап 12.4.2.2

Добавим $- 0.54402111$ и $1.91784854$ .

$f' (5) = 1.37382743$

Этап 12.4.2.3

Окончательный ответ: $1.37382743$ .

$1.37382743$

Этап 12.5

Подставим любое число такое, что $9$ , из интервала $(2 π, \infty)$ в первую производную $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

Этап 12.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1.1

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

Этап 12.5.2.1.2

Найдем значение $\sin (18)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

Этап 12.5.2.1.3

Найдем значение $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

Этап 12.5.2.1.4

Умножим $- 2$ на $0.41211848$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

Этап 12.5.2.2

Вычтем $0.82423697$ из $- 0.75098724$ .

$f' (9) = - 1.57522421$

Этап 12.5.2.3

Окончательный ответ: $- 1.57522421$ .

$- 1.57522421$

Этап 12.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 12.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = π$ , $x = π$ — локальный минимум.

$x = π$ — локальный минимум

Этап 12.8

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 2 π$ , $x = 2 π$ — локальный максимум.

$x = 2 π$ — локальный максимум

Этап 12.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ — локальный максимум

$x = π$ — локальный минимум

$x = 2 π$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = π$ — локальный минимум

$x = 2 π$ — локальный максимум

Этап 13