Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sec (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec (x) \tan (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.4

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 2.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Этап 2.7

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 \sec^{3} (x) + 2 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 2.10.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 2 \tan^{2} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 \sec (x) \tan (x) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 5.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 6.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sec (x) \tan (x) = 0$ верно.

$x = 0, π$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \tan^{2} (0) \sec (0) + 2 \sec^{3} (0)$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \sec (0) + 2 \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \cdot 0 \sec (0) + 2 \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$0 \sec (0) + 2 \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.4

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 2 \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.6

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 + 2 \cdot 1^{3}$

Этап 9.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 9.1.8

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \sec (0)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1$

Этап 11.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \tan^{2} (π) \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$2 {(- \tan (0))}^{2} \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 {(- 0)}^{2} \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \cdot 0 \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$0 \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$0 (- \sec (0)) + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.7

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.8

Умножим $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 \cdot - 1 + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.8.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 2 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.9

$0 + 2 {(- \sec (0))}^{3}$

Этап 13.1.10

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 + 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Этап 13.1.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 2 {(- 1)}^{3}$

Этап 13.1.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Этап 13.1.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 14

$x = π$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 2 \sec (π)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

$f (π) = 2 (- \sec (0))$

Этап 15.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.2.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1$

Этап 15.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (π) = - 2$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 \sec (x)$ .

$(0, 2)$ — локальный минимум

$(π, - 2)$ — локальный максимум

Этап 17