Математический анализ Примеры

$f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{3}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Этап 1.3.2

Добавим $3$ и $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = 24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $24 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 1.3.6

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 1.3.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Этап 1.3.10

Умножим $- 3$ на $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Этап 1.3.11

Вычтем $3$ из $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Этап 1.3.12

Перенесем $- 3$ влево от $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Этап 1.3.13

Перенесем $7$ влево от $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 1.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 1.4.4.2

Умножим $7$ на $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 1.4.4.3

Умножим $168$ на $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 1.4.4.4

Умножим $- 3$ на $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Этап 1.4.4.5

Умножим $x$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.5.1

Перенесем $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Этап 1.4.4.5.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Этап 1.4.4.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Этап 1.4.4.5.3

Добавим $6$ и $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Этап 1.4.4.6

Умножим $- 21$ на $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Этап 1.4.4.7

Добавим $9 x^{7}$ и $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Этап 1.4.5

Изменим порядок членов.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 504 x^{6}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (72 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [72 x^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $72$ является константой относительно $x$ , производная $72 x^{7}$ по $x$ равна $72 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$f'' (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$f'' (x) = 72 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $7$ на $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 504 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 504$ является константой относительно $x$ , производная $- 504 x^{6}$ по $x$ равна $- 504 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $- 504$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $72$ является константой относительно $x$ , производная $72 x^{2}$ по $x$ равна $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 (2 x)$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 144 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{3}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Этап 4.1.3.2

Добавим $3$ и $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Этап 4.1.3.4

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 4.1.3.5

По правилу суммы производная $24 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 4.1.3.6

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 4.1.3.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 4.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 4.1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Этап 4.1.3.10

Умножим $- 3$ на $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Этап 4.1.3.11

Вычтем $3$ из $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Этап 4.1.3.12

Перенесем $- 3$ влево от $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Этап 4.1.3.13

Перенесем $7$ влево от $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Этап 4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 4.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 4.1.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 4.1.4.4.2

Умножим $7$ на $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 4.1.4.4.3

Умножим $168$ на $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Этап 4.1.4.4.4

Умножим $- 3$ на $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Этап 4.1.4.4.5

Умножим $x$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.5.1

Перенесем $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Этап 4.1.4.4.5.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Этап 4.1.4.4.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Этап 4.1.4.4.5.3

Добавим $6$ и $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Этап 4.1.4.4.6

Умножим $- 21$ на $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Этап 4.1.4.4.7

Добавим $9 x^{7}$ и $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Этап 4.1.4.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 0.60223321$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$504 {(- 0.60223321)}^{6} - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 0.60223321$ в степень $6$ .

$504 \cdot 0.04770767 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Этап 9.1.2

Умножим $504$ на $0.04770767$ .

$24.04466629 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Этап 9.1.3

Возведем $- 0.60223321$ в степень $5$ .

$24.04466629 - 3024 \cdot - 0.07921793 + 144 (- 0.60223321)$

Этап 9.1.4

Умножим $- 3024$ на $- 0.07921793$ .

$24.04466629 + 239.55503398 + 144 (- 0.60223321)$

Этап 9.1.5

Умножим $144$ на $- 0.60223321$ .

$24.04466629 + 239.55503398 - 86.72158264$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $24.04466629$ и $239.55503398$ .

$263.59970027 - 86.72158264$

Этап 9.2.2

Вычтем $86.72158264$ из $263.59970027$ .

$176.87811762$

Этап 10

$x = - 0.60223321$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 0.60223321$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 0.60223321$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.60223321$ .

$f (- 0.60223321) = 24 {(- 0.60223321)}^{3} - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 0.60223321$ в степень $3$ .

$f (- 0.60223321) = 24 \cdot - 0.21842085 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Этап 11.2.1.2

Умножим $24$ на $- 0.21842085$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Этап 11.2.1.3

Умножим ${(- 0.60223321)}^{4}$ на ${(- 0.60223321)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Перенесем ${(- 0.60223321)}^{3}$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 ({(- 0.60223321)}^{3} {(- 0.60223321)}^{4}) \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Этап 11.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{3 + 4} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Этап 11.2.1.3.3

Добавим $3$ и $4$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{7} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Этап 11.2.1.4

Возведем $- 0.60223321$ в степень $7$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 \cdot - 0.02873114 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 3$ на $- 0.02873114$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 3$ на $- 0.60223321$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 + 1.80669963)$

Этап 11.2.1.7

Добавим $24$ и $1.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot 25.80669963$

Этап 11.2.1.8

Умножим $0.08619343$ на $25.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 2.22436801$

Этап 11.2.2

Добавим $- 5.24210059$ и $2.22436801$ .

$f (- 0.60223321) = - 3.01773257$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 3.01773257$ .

$y = - 3.01773257$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$504 {(0)}^{6} - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$504 \cdot 0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Этап 13.1.2

Умножим $504$ на $0$ .

$0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Этап 13.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 3024 \cdot 0 + 144 (0)$

Этап 13.1.4

Умножим $- 3024$ на $0$ .

$0 + 0 + 144 (0)$

Этап 13.1.5

Умножим $144$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 13.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 0.60223321) \cup (- 0.60223321, 0) \cup (0, 0.62944187) \cup (0.62944187, 6.9995834) \cup (6.9995834, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 3$ , из интервала $(- \infty, - 0.60223321)$ в первую производную $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 72 {(- 3)}^{7} - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $7$ .

$f' (- 3) = 72 \cdot - 2187 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Этап 14.2.2.1.2

Умножим $72$ на $- 2187$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Этап 14.2.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $6$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 \cdot 729 + 72 {(- 3)}^{2}$

Этап 14.2.2.1.4

Умножим $- 504$ на $729$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 {(- 3)}^{2}$

Этап 14.2.2.1.5

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 \cdot 9$

Этап 14.2.2.1.6

Умножим $72$ на $9$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 648$

Этап 14.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Вычтем $367416$ из $- 157464$ .

$f' (- 3) = - 524880 + 648$

Этап 14.2.2.2.2

Добавим $- 524880$ и $648$ .

$f' (- 3) = - 524232$

Этап 14.2.2.3

Окончательный ответ: $- 524232$ .

$- 524232$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $- 0.3$ , из интервала $(- 0.60223321, 0)$ в первую производную $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.3$ .

$f' (- 0.3) = 72 {(- 0.3)}^{7} - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Возведем $- 0.3$ в степень $7$ .

$f' (- 0.3) = 72 \cdot - 0.0002187 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Этап 14.3.2.1.2

Умножим $72$ на $- 0.0002187$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Этап 14.3.2.1.3

Возведем $- 0.3$ в степень $6$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 \cdot 0.000729 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Этап 14.3.2.1.4

Умножим $- 504$ на $0.000729$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Этап 14.3.2.1.5

Возведем $- 0.3$ в степень $2$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 \cdot 0.09$

Этап 14.3.2.1.6

Умножим $72$ на $0.09$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 6.48$

Этап 14.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Вычтем $0.367416$ из $- 0.0157464$ .

$f' (- 0.3) = - 0.3831624 + 6.48$

Этап 14.3.2.2.2

Добавим $- 0.3831624$ и $6.48$ .

$f' (- 0.3) = 6.0968376$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $6.0968376$ .

$6.0968376$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $0.31$ , из интервала $(0, 0.62944187)$ в первую производную $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.31$ .

$f' (0.31) = 72 {(0.31)}^{7} - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Возведем $0.31$ в степень $7$ .

$f' (0.31) = 72 \cdot 0.00027512 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Этап 14.4.2.1.2

Умножим $72$ на $0.00027512$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Этап 14.4.2.1.3

Возведем $0.31$ в степень $6$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 \cdot 0.0008875 + 72 {(0.31)}^{2}$

Этап 14.4.2.1.4

Умножим $- 504$ на $0.0008875$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 {(0.31)}^{2}$

Этап 14.4.2.1.5

Возведем $0.31$ в степень $2$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 \cdot 0.0961$

Этап 14.4.2.1.6

Умножим $72$ на $0.0961$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 6.9192$

Этап 14.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Вычтем $0.44730185$ из $0.01980908$ .

$f' (0.31) = - 0.42749277 + 6.9192$

Этап 14.4.2.2.2

Добавим $- 0.42749277$ и $6.9192$ .

$f' (0.31) = 6.49170722$

Этап 14.4.2.3

Окончательный ответ: $6.49170722$ .

$6.49170722$

Этап 14.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(0.62944187, 6.9995834)$ в первую производную $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 72 {(4)}^{7} - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Этап 14.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1.1

Возведем $4$ в степень $7$ .

$f' (4) = 72 \cdot 16384 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Этап 14.5.2.1.2

Умножим $72$ на $16384$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Этап 14.5.2.1.3

Возведем $4$ в степень $6$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 \cdot 4096 + 72 {(4)}^{2}$

Этап 14.5.2.1.4

Умножим $- 504$ на $4096$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 {(4)}^{2}$

Этап 14.5.2.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 \cdot 16$

Этап 14.5.2.1.6

Умножим $72$ на $16$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 1152$

Этап 14.5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.2.1

Вычтем $2064384$ из $1179648$ .

$f' (4) = - 884736 + 1152$

Этап 14.5.2.2.2

Добавим $- 884736$ и $1152$ .

$f' (4) = - 883584$

Этап 14.5.2.3

Окончательный ответ: $- 883584$ .

$- 883584$

Этап 14.6

Подставим любое число такое, что $9$ , из интервала $(6.9995834, \infty)$ в первую производную $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f' (9) = 72 {(9)}^{7} - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Этап 14.6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.1.1

Возведем $9$ в степень $7$ .

$f' (9) = 72 \cdot 4782969 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Этап 14.6.2.1.2

Умножим $72$ на $4782969$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Этап 14.6.2.1.3

Возведем $9$ в степень $6$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 \cdot 531441 + 72 {(9)}^{2}$

Этап 14.6.2.1.4

Умножим $- 504$ на $531441$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 {(9)}^{2}$

Этап 14.6.2.1.5

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 \cdot 81$

Этап 14.6.2.1.6

Умножим $72$ на $81$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 5832$

Этап 14.6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.2.1

Вычтем $267846264$ из $344373768$ .

$f' (9) = 76527504 + 5832$

Этап 14.6.2.2.2

Добавим $76527504$ и $5832$ .

$f' (9) = 76533336$

Этап 14.6.2.3

Окончательный ответ: $76533336$ .

$76533336$

Этап 14.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 0.60223321$ , $x = - 0.60223321$ — локальный минимум.

$x = - 0.60223321$ — локальный минимум

Этап 14.8

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.9

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0.62944187$ , $x = 0.62944187$ — локальный максимум.

$x = 0.62944187$ — локальный максимум

Этап 14.10

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 6.9995834$ , $x = 6.9995834$ — локальный минимум.

$x = 6.9995834$ — локальный минимум

Этап 14.11

Это локальные экстремумы $f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ .

$x = - 0.60223321$ — локальный минимум

$x = 0.62944187$ — локальный максимум

$x = 6.9995834$ — локальный минимум

$x = - 0.60223321$ — локальный минимум

$x = 0.62944187$ — локальный максимум

$x = 6.9995834$ — локальный минимум

Этап 15