Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$3 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Этап 1.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$6 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 \sin (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \cos (x) \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) + 6 (- \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) = 0$

Этап 4

Вынесем множитель $3 \cos (x)$ из $6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $3 \cos (x)$ из $6 \cos (x) \sin (x)$ .

$3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $3 \cos (x)$ из $3 \cos (x)$ .

$3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $3 \cos (x)$ из $3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1$ .

$3 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 7

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 7.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 7.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 7.2.6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 7.2.7

Решение уравнения $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$6 \cdot 0^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6 \cdot 0 - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.3

Умножим $6$ на $0$ .

$0 - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{2} - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.6

Умножим $- 6$ на $1$ .

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Этап 10.1.8

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 6 - 3$

Этап 10.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $6$ из $0$ .

$- 6 - 3$

Этап 10.2.2

Вычтем $3$ из $- 6$ .

$- 9$

Этап 11

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1^{2} + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3 \cdot 1$

Этап 12.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3$

Этап 12.2.2

Добавим $3$ и $3$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$y = 6$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$6 \cdot 0^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6 \cdot 0 - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.4

Умножим $6$ на $0$ .

$0 - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$0 - 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.9

Умножим $- 6$ на $1$ .

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.10

$0 - 6 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 14.1.11

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 - 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 14.1.12

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.12.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot - 1$

Этап 14.1.12.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$0 - 6 + 3$

Этап 14.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $6$ из $0$ .

$- 6 + 3$

Этап 14.2.2

Добавим $- 6$ и $3$ .

$- 3$

Этап 15

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- 1)}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 16.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.2.1.8

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 \cdot - 1$

Этап 16.2.1.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 - 3$

Этап 16.2.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = - \frac{π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 \cos^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$6 \cos^{2} (\frac{11 π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$6 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.4

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$6 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.5.5

Найдем экспоненту.

$6 \frac{3}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 (\frac{3}{4}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{3}{4} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.7.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.7.4

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{3}{2}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.8

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.9

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.10

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.11

$\frac{9}{2} - 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.12

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.13

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.13.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.13.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.14

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.15

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.16

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1}{2^{2}} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.17

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (\frac{1}{4}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.18

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.18.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{9}{2} + 2 (- 3) \frac{1}{4} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.18.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.18.3

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.18.4

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.19

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 3}{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 18.1.21

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

Этап 18.1.22

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 18.1.23

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \frac{1}{2})$

Этап 18.1.24

Умножим $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.24.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

Этап 18.1.24.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 18.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 - 3 + 3}{2}$

Этап 18.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.1

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Этап 18.2.2.2

Добавим $6$ и $3$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 19

$x = - \frac{π}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{π}{6}$ — локальный минимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.2

$f (- \frac{π}{6}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.4.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.6

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{2^{2}}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{4}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.9

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Этап 20.2.1.10

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

Этап 20.2.1.11

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 20.2.1.12

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

Этап 20.2.1.13

Умножим $3 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.13.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Этап 20.2.1.13.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + \frac{- 3}{2}$

Этап 20.2.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

Этап 20.2.2

Чтобы записать $- \frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 20.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.3.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 20.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Этап 20.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{4}$

Этап 20.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 6}{4}$

Этап 20.2.5.2

Вычтем $6$ из $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Этап 20.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Этап 20.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Этап 21

Найдем вторую производную в $x = \frac{7 π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 \cos^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$6 {(- \cos (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.3.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$6 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.5

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$6 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$6 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.6.5

Найдем экспоненту.

$6 \frac{3}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 (\frac{3}{4}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{3}{4} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.8.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.8.4

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{3}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.9

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.11

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{9}{2} - 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.12

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.13

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.13.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.13.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.14

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.15

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.16

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1}{2^{2}} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.17

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (\frac{1}{4}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.18

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.18.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{9}{2} + 2 (- 3) \frac{1}{4} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.18.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.18.3

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.18.4

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.19

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 3}{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 22.1.21

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 22.1.22

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \frac{1}{2})$

Этап 22.1.23

Умножим $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.23.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

Этап 22.1.23.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 22.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 - 3 + 3}{2}$

Этап 22.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Этап 22.2.2.2

Добавим $6$ и $3$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 23

$x = \frac{7 π}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{7 π}{6}$ — локальный минимум

Этап 24

Найдем значение y, если $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2.1.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.3.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2.1.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2.1.5

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{2^{2}}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{4}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2.1.8

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 24.2.1.9

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 24.2.1.10

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

Этап 24.2.1.11

Умножим $3 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Этап 24.2.1.11.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + \frac{- 3}{2}$

Этап 24.2.1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

Этап 24.2.2

Чтобы записать $- \frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 24.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.3.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 24.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Этап 24.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{4}$

Этап 24.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 6}{4}$

Этап 24.2.5.2

Вычтем $6$ из $3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Этап 24.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Этап 24.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Этап 25

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 6)$ — локальный максимум

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ — локальный максимум

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{4})$ — локальный минимум

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{4})$ — локальный минимум

Этап 26