Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 (x - 6) {(x + 6)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + 6)}^{2}$ в виде $(x + 6) (x + 6)$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) ((x + 6) (x + 6))]$

Этап 1.2

Развернем $(x + 6) (x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x (x + 6) + 6 (x + 6))]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6))]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)]$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6)]$

Этап 1.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x^{2} + 6 x + 6 x + 36)]$

Этап 1.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x^{2} + 12 x + 36)]$

Этап 1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 (x - 6) (x^{2} + 12 x + 36)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [(x - 6) (x^{2} + 12 x + 36)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(x - 6) (x^{2} + 12 x + 36)]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 6$ и $g (x) = x^{2} + 12 x + 36$ .

$3 ((x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12 x + 36] + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 1.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 12 x + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$3 ((x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 ((x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 1.6.3

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 1.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 1.6.5

Умножим $12$ на $1$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 1.6.6

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12 + 0) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 1.6.7

Добавим $2 x + 12$ и $0$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 1.6.8

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Этап 1.6.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Этап 1.6.10

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) (1 + 0))$

Этап 1.6.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) \cdot 1)$

Этап 1.6.11.2

Умножим $x^{2} + 12 x + 36$ на $1$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + x^{2} + 12 x + 36)$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 ((x - 6) (2 x + 12)) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 ((x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot 12 - 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (2 x)) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (2 x^{2}) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.5

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{2} + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.6

Умножим $2$ на $- 6$ .

$6 x^{2} + 3 (- 12 x) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.7

Умножим $- 12$ на $3$ .

$6 x^{2} - 36 x + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.8

Перенесем $12$ влево от $x$ .

$6 x^{2} - 36 x + 3 (12 \cdot x) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.9

Умножим $12$ на $3$ .

$6 x^{2} - 36 x + 36 x + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.10

Умножим $- 6$ на $12$ .

$6 x^{2} - 36 x + 36 x + 3 \cdot - 72 + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.11

Умножим $3$ на $- 72$ .

$6 x^{2} - 36 x + 36 x - 216 + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.12

Добавим $- 36 x$ и $36 x$ .

$6 x^{2} + 0 - 216 + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.13

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$6 x^{2} - 216 + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.14

Добавим $6 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$9 x^{2} - 216 + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.15

Умножим $12$ на $3$ .

$9 x^{2} - 216 + 36 x + 3 \cdot 36$

Этап 1.7.6.16

Умножим $3$ на $36$ .

$9 x^{2} - 216 + 36 x + 108$

Этап 1.7.6.17

Добавим $- 216$ и $108$ .

$9 x^{2} + 36 x - 108$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 36 x - 108$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (36 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 18 x + 36 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 x + 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Этап 2.3.3

Умножим $36$ на $1$ .

$f'' (x) = 18 x + 36 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 108$ является константой относительно $x$ , производная $- 108$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 36 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $18 x + 36$ и $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 36$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$9 x^{2} + 36 x - 108 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(x + 6)}^{2}$ в виде $(x + 6) (x + 6)$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) ((x + 6) (x + 6))]$

Этап 4.1.2

Развернем $(x + 6) (x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x (x + 6) + 6 (x + 6))]$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6))]$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)]$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)]$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6)]$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x^{2} + 6 x + 6 x + 36)]$

Этап 4.1.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x - 6) (x^{2} + 12 x + 36)]$

Этап 4.1.4

$3 \frac{d}{d x} [(x - 6) (x^{2} + 12 x + 36)]$

Этап 4.1.5

$3 ((x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12 x + 36] + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 4.1.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 12 x + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$3 ((x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 4.1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 ((x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 4.1.6.3

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 4.1.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 4.1.6.5

Умножим $12$ на $1$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 4.1.6.6

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12 + 0) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 4.1.6.7

Добавим $2 x + 12$ и $0$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x - 6])$

Этап 4.1.6.8

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Этап 4.1.6.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Этап 4.1.6.10

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) (1 + 0))$

Этап 4.1.6.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) \cdot 1)$

Этап 4.1.6.11.2

Умножим $x^{2} + 12 x + 36$ на $1$ .

$3 ((x - 6) (2 x + 12) + x^{2} + 12 x + 36)$

Этап 4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 ((x - 6) (2 x + 12)) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 ((x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot 12 - 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (2 x)) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.6.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (2 x^{2}) + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.5

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{2} + 3 (- 6 (2 x)) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.6

Умножим $2$ на $- 6$ .

$6 x^{2} + 3 (- 12 x) + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.7

Умножим $- 12$ на $3$ .

$6 x^{2} - 36 x + 3 (x \cdot 12) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.8

Перенесем $12$ влево от $x$ .

$6 x^{2} - 36 x + 3 (12 \cdot x) + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.9

Умножим $12$ на $3$ .

$6 x^{2} - 36 x + 36 x + 3 (- 6 \cdot 12) + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.10

Умножим $- 6$ на $12$ .

$6 x^{2} - 36 x + 36 x + 3 \cdot - 72 + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.11

Умножим $3$ на $- 72$ .

$6 x^{2} - 36 x + 36 x - 216 + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.12

Добавим $- 36 x$ и $36 x$ .

$6 x^{2} + 0 - 216 + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.13

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$6 x^{2} - 216 + 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.14

Добавим $6 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$9 x^{2} - 216 + 3 (12 x) + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.15

Умножим $12$ на $3$ .

$9 x^{2} - 216 + 36 x + 3 \cdot 36$

Этап 4.1.7.6.16

Умножим $3$ на $36$ .

$9 x^{2} - 216 + 36 x + 108$

Этап 4.1.7.6.17

Добавим $- 216$ и $108$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 36 x - 108$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $9 x^{2} + 36 x - 108$ .

$9 x^{2} + 36 x - 108$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $9 x^{2} + 36 x - 108 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$9 x^{2} + 36 x - 108 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2} + 36 x - 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$9 (x^{2}) + 36 x - 108 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $36 x$ .

$9 (x^{2}) + 9 (4 x) - 108 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 108$ .

$9 x^{2} + 9 (4 x) + 9 \cdot - 12 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2} + 9 (4 x)$ .

$9 (x^{2} + 4 x) + 9 \cdot - 12 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (x^{2} + 4 x) + 9 \cdot - 12$ .

$9 (x^{2} + 4 x - 12) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} + 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $4$ .

$- 2, 6$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$9 ((x - 2) (x + 6)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (x - 2) (x + 6) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (x - 2) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 2, - 6$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, - 6$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$18 (2) + 36$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $18$ на $2$ .

$36 + 36$

Этап 9.2

Добавим $36$ и $36$ .

$72$

Этап 10

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 3 ((2) - 6) {((2) + 6)}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $6$ из $2$ .

$f (2) = 3 \cdot (- 4 {((2) + 6)}^{2})$

Этап 11.2.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f (2) = - 12 {((2) + 6)}^{2}$

Этап 11.2.3

Добавим $2$ и $6$ .

$f (2) = - 12 \cdot 8^{2}$

Этап 11.2.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (2) = - 12 \cdot 64$

Этап 11.2.5

Умножим $- 12$ на $64$ .

$f (2) = - 768$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $- 768$ .

$y = - 768$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$18 (- 6) + 36$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $18$ на $- 6$ .

$- 108 + 36$

Этап 13.2

Добавим $- 108$ и $36$ .

$- 72$

Этап 14

$x = - 6$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 6$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = 3 ((- 6) - 6) {((- 6) + 6)}^{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $6$ из $- 6$ .

$f (- 6) = 3 \cdot (- 12 {((- 6) + 6)}^{2})$

Этап 15.2.2

Умножим $3$ на $- 12$ .

$f (- 6) = - 36 {((- 6) + 6)}^{2}$

Этап 15.2.3

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f (- 6) = - 36 \cdot 0^{2}$

Этап 15.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (- 6) = - 36 \cdot 0$

Этап 15.2.5

Умножим $- 36$ на $0$ .

$f (- 6) = 0$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 (x - 6) {(x + 6)}^{2}$ .

$(2, - 768)$ — локальный минимум

$(- 6, 0)$ — локальный максимум

Этап 17