Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x y$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y \cdot 1$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 y$

Этап 2

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 y = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y \cdot 1$

Этап 4.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 y$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 y$ .

$2 y$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 y = 0$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 y = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 y = 0$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$y = 0$

Этап 6

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 7

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$0$

Этап 8

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 9