Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 - \sec^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sec^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.2.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 2.2.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Этап 2.2.5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Этап 2.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Этап 2.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Этап 2.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 2.3

Вычтем $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Этап 4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Этап 5

Разделим каждый член $- \sec^{2} (x) = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- \sec^{2} (x) = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Этап 6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Этап 7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 8

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $arcsec (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 9.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 9.4

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 9.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 9.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 9.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 9.4.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 9.5

Решение уравнения $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Точное значение $arcsec (- \sqrt{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 10.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 10.4

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 10.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 10.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 10.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 10.4.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 10.5

Решение уравнения $x = \frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Этап 11

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Этап 12

Исключим решения, которые не делают $2 - \sec^{2} (x) = 0$ истинным.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.3.6.5

Найдем экспоненту.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.5.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.5.5

Найдем экспоненту.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.6

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Этап 14.7

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 14.8

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 15

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 (2)}) - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 16.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 16.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 16.2.1.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1$

Этап 16.2.2

Окончательный ответ: $\frac{π}{2} - 1$ .

$y = \frac{π}{2} - 1$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = \frac{7 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.4.6.5

Найдем экспоненту.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Сократим общий множитель.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.5.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.6.5

Найдем экспоненту.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Этап 18.9

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 18.10

Умножим $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Этап 18.10.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4$

Этап 19

$x = \frac{7 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{7 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = \frac{7 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{4}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 20.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 20.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 20.2.1.2

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Этап 20.2.1.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 20.2.1.4

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Этап 20.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Этап 20.2.2

Окончательный ответ: $\frac{7 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{7 π}{2} + 1$

Этап 21

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sec^{2} (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.4.6.5

Найдем экспоненту.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.1

Сократим общий множитель.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.5.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.6.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.6.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.7.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.7.5

Найдем экспоненту.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.8

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.9

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Этап 22.10

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 22.11

Умножим $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.11.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Этап 22.11.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4$

Этап 23

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 24

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 24.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 24.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 24.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 24.2.1.2

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Этап 24.2.1.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 24.2.1.4

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Этап 24.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Этап 24.2.2

Окончательный ответ: $\frac{3 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{3 π}{2} + 1$

Этап 25

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sec^{2} (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс принимает отрицательные значения в третьем квадранте.

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.4.6.5

Найдем экспоненту.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.5.1

Сократим общий множитель.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.5.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.6.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.6.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.6.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.7.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.7.5

Найдем экспоненту.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.8

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 26.9

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Этап 26.10

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 26.11

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 27

$x = \frac{5 π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{4}$ — локальный максимум

Этап 28

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 28.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 28.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 28.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 28.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 28.2.1.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Этап 28.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1$

Этап 28.2.2

Окончательный ответ: $\frac{5 π}{2} - 1$ .

$y = \frac{5 π}{2} - 1$

Этап 29

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x - \tan (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1)$ — локальный максимум

$(\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1)$ — локальный минимум

$(\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1)$ — локальный минимум

$(\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1)$ — локальный максимум

Этап 30