Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x - \sin (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x - \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Этап 1.3.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 - (2 \cdot \cos (2 x))$

Этап 1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 - 2 \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 - 2 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.2.7

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (2 x)$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $4 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 - 2 \cos (2 x) = 0$

Этап 4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \cos (2 x) = - 2$

Этап 5

Разделим каждый член $- 2 \cos (2 x) = - 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (2 x) = - 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $- 2$ на $- 2$ .

$\cos (2 x) = 1$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (1)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 8

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 9

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - 0$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Этап 10.1.2

Добавим $2 π$ и $0$ .

$2 x = 2 π$

Этап 10.2

Разделим каждый член $2 x = 2 π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим каждый член $2 x = 2 π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Этап 10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Этап 10.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{2}$

Этап 10.2.3.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$x = π$

Этап 11

Решение уравнения $2 x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \sin (2 (0))$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \sin (0)$

Этап 13.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 \cdot 0$

Этап 13.3

Умножим $4$ на $0$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $2 - 2 \cos (2 x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (2 (- 2))$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (- 4)$

Этап 14.2.2.1.2

Найдем значение $\cos (- 4)$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Этап 14.2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 0.65364362$ .

$f' (- 2) = 2 + 1.30728724$

Этап 14.2.2.2

Добавим $2$ и $1.30728724$ .

$f' (- 2) = 3.30728724$

Этап 14.2.2.3

Окончательный ответ: $3.30728724$ .

$3.30728724$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, π)$ в первую производную $2 - 2 \cos (2 x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cos (2 (2))$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cos (4)$

Этап 14.3.2.1.2

Найдем значение $\cos (4)$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Этап 14.3.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 0.65364362$ .

$f' (2) = 2 + 1.30728724$

Этап 14.3.2.2

Добавим $2$ и $1.30728724$ .

$f' (2) = 3.30728724$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $3.30728724$ .

$3.30728724$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(π, \infty)$ в первую производную $2 - 2 \cos (2 x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cos (2 (6))$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cos (12)$

Этап 14.4.2.1.2

Найдем значение $\cos (12)$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cdot 0.84385395$

Этап 14.4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $0.84385395$ .

$f' (6) = 2 - 1.68770791$

Этап 14.4.2.2

Вычтем $1.68770791$ из $2$ .

$f' (6) = 0.31229208$

Этап 14.4.2.3

Окончательный ответ: $0.31229208$ .

$0.31229208$

Этап 14.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.6

Локальный минимум или минимум для $f (x) = 2 x - \sin (2 x)$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 15