Математический анализ Примеры

$\frac{5 x - 7}{35 x^{3}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{35}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x - 7}{35 x^{3}}$ по $x$ равна $\frac{1}{35} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 7}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{35} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 7}{x^{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 5 x - 7$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $5 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.6

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.7.2

Перенесем $5$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 \cdot x^{3} - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x^{3} - (5 x - 7) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.9

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x^{3} - 3 (5 x - 7) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 3.9.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{3} - 3 (5 x - 7) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x) - 3 (5 x - 7) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 3.9.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 (5 x - 7) x^{2}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x) + x^{2} (- 3 (5 x - 7))}{x^{6}}$

Этап 3.9.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (5 x) + x^{2} (- 3 (5 x - 7))$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{6}}$

Этап 4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{x^{4}}$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{35}$ на $\frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{x^{4}}$ .

$\frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{35 x^{4}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x - 3 (5 x) - 3 \cdot - 7}{35 x^{4}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{5 x - 15 x - 3 \cdot - 7}{35 x^{4}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 3$ на $- 7$ .

$\frac{5 x - 15 x + 21}{35 x^{4}}$

Этап 6.2.2

Вычтем $15 x$ из $5 x$ .

$\frac{- 10 x + 21}{35 x^{4}}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 10 x$ .

$\frac{- (10 x) + 21}{35 x^{4}}$

Этап 6.4

Перепишем $21$ в виде $- 1 (- 21)$ .

$\frac{- (10 x) - 1 (- 21)}{35 x^{4}}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (10 x) - 1 (- 21)$ .

$\frac{- (10 x - 21)}{35 x^{4}}$

Этап 6.6

Перепишем $- (10 x - 21)$ в виде $- 1 (10 x - 21)$ .

$\frac{- 1 (10 x - 21)}{35 x^{4}}$

Этап 6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10 x - 21}{35 x^{4}}$