Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x + 15$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.5.3

Умножим $18$ на $1$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$ и $0$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.4.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 x - 24 + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 x - 24 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $36 x^{2} - 12 x - 24$ и $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 x - 24$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.5.3

Умножим $18$ на $1$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 + 0$

Этап 4.1.6.2

Добавим $12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $12 x^{3}$ .

$6 (2 x^{3}) - 6 x^{2} - 24 x + 18 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x^{2}$ .

$6 (2 x^{3}) + 6 (- x^{2}) - 24 x + 18 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 24 x$ .

$6 (2 x^{3}) + 6 (- x^{2}) + 6 (- 4 x) + 18 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$6 (2 x^{3}) + 6 (- x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 (3) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x^{3}) + 6 (- x^{2})$ .

$6 (2 x^{3} - x^{2}) + 6 (- 4 x) + 6 (3) = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x^{3} - x^{2}) + 6 (- 4 x)$ .

$6 (2 x^{3} - x^{2} - 4 x) + 6 (3) = 0$

Этап 5.2.1.7

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x^{3} - x^{2} - 4 x) + 6 (3)$ .

$6 (2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим $2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 5.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Этап 5.2.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$2 \cdot 1^{3} - 1^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Этап 5.2.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$2 \cdot 1 - 1^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Этап 5.2.2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 1^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Этап 5.2.2.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$2 - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Этап 5.2.2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Этап 5.2.2.3.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 3$

Этап 5.2.2.3.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 - 4 + 3$

Этап 5.2.2.3.8

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 3 + 3$

Этап 5.2.2.3.9

Добавим $- 3$ и $3$ .

$0$

Этап 5.2.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 3}{x - 1}$

Этап 5.2.2.5

Разделим $2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 3$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$3$

Этап 5.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$

Этап 5.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 5.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$

Этап 5.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$

Этап 5.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 5.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$

Этап 5.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$

Этап 5.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$

Этап 5.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Этап 5.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x + 3$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Этап 5.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$
										$0$

Этап 5.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + x - 3$

Этап 5.2.2.6

Запишем $2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 3$ в виде набора множителей.

$6 ((x - 1) (2 x^{2} + x - 3)) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Умножим на $1$ .

$6 ((x - 1) (2 x^{2} + 1 x - 3)) = 0$

Этап 5.2.3.1.1.2

Запишем $1$ как $- 2$ плюс $3$

$6 ((x - 1) (2 x^{2} + (- 2 + 3) x - 3)) = 0$

Этап 5.2.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 ((x - 1) (2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3)) = 0$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$6 ((x - 1) ((2 x^{2} - 2 x) + 3 x - 3)) = 0$

Этап 5.2.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$6 ((x - 1) (2 x (x - 1) + 3 (x - 1))) = 0$

Этап 5.2.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) (2 x + 3))) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 ((x - 1) (x - 1) (2 x + 3)) = 0$

Этап 5.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$6 ((x - 1) (x - 1) (2 x + 3)) = 0$

Этап 5.2.4.1.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$6 ((x - 1) (x - 1) (2 x + 3)) = 0$

Этап 5.2.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 ({(x - 1)}^{1 + 1} (2 x + 3)) = 0$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$6 ({(x - 1)}^{2} (2 x + 3)) = 0$

Этап 5.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 {(x - 1)}^{2} (2 x + 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.5

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 {(x - 1)}^{2} (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 - 24$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$36 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 24$

Этап 9.1.2

Умножим $36$ на $1$ .

$36 - 12 \cdot 1 - 24$

Этап 9.1.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$36 - 12 - 24$

Этап 9.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $12$ из $36$ .

$24 - 24$

Этап 9.2.2

Вычтем $24$ из $24$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - \frac{3}{2})$ в первую производную $12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} - 6 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 + 18$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 - 6 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 + 18$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $12$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = - 768 - 6 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 + 18$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - 768 - 6 \cdot 16 - 24 \cdot - 4 + 18$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $- 6$ на $16$ .

$f' (- 4) = - 768 - 96 - 24 \cdot - 4 + 18$

Этап 10.2.2.1.5

Умножим $- 24$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 768 - 96 + 96 + 18$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вычтем $96$ из $- 768$ .

$f' (- 4) = - 864 + 96 + 18$

Этап 10.2.2.2.2

Добавим $- 864$ и $96$ .

$f' (- 4) = - 768 + 18$

Этап 10.2.2.2.3

Добавим $- 768$ и $18$ .

$f' (- 4) = - 750$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 750$ .

$- 750$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \frac{3}{2}, 1)$ в первую производную $12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 18$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 18$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 6 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 18$

Этап 10.3.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 0 - 6 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 18$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 24 \cdot 0 + 18$

Этап 10.3.2.1.5

Умножим $- 24$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 18$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 18$

Этап 10.3.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 18$

Этап 10.3.2.2.3

Добавим $0$ и $18$ .

$f' (0) = 18$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $18$ .

$18$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(1, \infty)$ в первую производную $12 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 18$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 12 {(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 18$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = 12 \cdot 64 - 6 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 18$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $12$ на $64$ .

$f' (4) = 768 - 6 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 18$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 768 - 6 \cdot 16 - 24 \cdot 4 + 18$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 6$ на $16$ .

$f' (4) = 768 - 96 - 24 \cdot 4 + 18$

Этап 10.4.2.1.5

Умножим $- 24$ на $4$ .

$f' (4) = 768 - 96 - 96 + 18$

Этап 10.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Вычтем $96$ из $768$ .

$f' (4) = 672 - 96 + 18$

Этап 10.4.2.2.2

Вычтем $96$ из $672$ .

$f' (4) = 576 + 18$

Этап 10.4.2.2.3

Добавим $576$ и $18$ .

$f' (4) = 594$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $594$ .

$594$

Этап 10.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - \frac{3}{2}$ , $x = - \frac{3}{2}$ — локальный минимум.

$x = - \frac{3}{2}$ — локальный минимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 1$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x + 15$ .

$x = - \frac{3}{2}$ — локальный минимум

Этап 11