Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} (\sqrt{5 x} + 3 x) (x^{2} - 4)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$lim_{x \to 5} \sqrt{5 x} + 3 x \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$(lim_{x \to 5} \sqrt{5 x} + lim_{x \to 5} 3 x) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$(\sqrt{lim_{x \to 5} 5 x} + lim_{x \to 5} 3 x) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + lim_{x \to 5} 3 x) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot (lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 4)$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 4)$

Этап 8

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$(\sqrt{5 \cdot 5} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$(\sqrt{5 \cdot 5} + 3 \cdot 5) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$(\sqrt{5 \cdot 5} + 3 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$(\sqrt{25} + 3 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Этап 10.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$(\sqrt{5^{2}} + 3 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Этап 10.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$(5 + 3 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Этап 10.1.4

Умножим $3$ на $5$ .

$(5 + 15) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Этап 10.2

Добавим $5$ и $15$ .

$20 \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Этап 10.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$20 \cdot (25 - 1 \cdot 4)$

Этап 10.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$20 \cdot (25 - 4)$

Этап 10.4

Вычтем $4$ из $25$ .

$20 \cdot 21$

Этап 10.5

Умножим $20$ на $21$ .

$420$