Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{2 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} \sin (3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 5} 3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} x}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{5}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (15)}{5}$

Этап 6.1.2

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - 30)}{5}$

Этап 6.1.2.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - (30))}{5}$

Этап 6.1.2.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Этап 6.1.2.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Этап 6.1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Этап 6.1.2.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{5}$

Этап 6.1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Этап 6.1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Этап 6.1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Этап 6.1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Этап 6.1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Этап 6.1.2.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{5}$

Этап 6.1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{5}$

Этап 6.1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{5}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 5}$

Этап 6.3.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$

Этап 6.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 20}$

Этап 6.4.2

Умножим $2$ на $20$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Десятичная форма:

$0.02588190 \dots$