Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 x + 2}{6 x - 9}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 x + 2}{6 x - 9}}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Этап 3.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $6$ на $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{6 + \frac{- 9}{x}}}$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{6 - \frac{9}{x}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Этап 3.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\sqrt{\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Этап 3.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 6 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}}$

Этап 5.2

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{6 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}}$

Этап 5.3

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{6 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 6

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{6 - 9 \cdot 0}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\sqrt{\frac{3 + 0}{6 - 9 \cdot 0}}$

Этап 7.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\sqrt{\frac{3}{6 - 9 \cdot 0}}$

Этап 7.3

Умножим $- 9$ на $0$ .

$\sqrt{\frac{3}{6 + 0}}$

Этап 7.4

Добавим $6$ и $0$ .

$\sqrt{\frac{3}{6}}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{6}}$

Этап 7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Этап 7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Этап 7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 7.6

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 7.8

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.9.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 7.9.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 7.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.9.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 7.9.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$