Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{5} (x)}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{5} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $5$ в выражении $\sin^{5} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin^{5} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin^{5} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{5} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{5} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{5} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{4} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{4} (x) \cos (x)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $5 \sin^{4} (x) \cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 \sin^{4} (x) \cos (x)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \sin^{4} (x) \cos (x)$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$5 lim_{x \to 0} \sin^{4} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)$

Этап 2.3

Вынесем степень $4$ в выражении $\sin^{4} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{4} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)$

Этап 2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$5 \sin^{4} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$5 \sin^{4} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 \sin^{4} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 \sin^{4} (0) \cdot \cos (0)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$5 \cdot 0^{4} \cdot \cos (0)$

Этап 4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 \cdot 0 \cdot \cos (0)$

Этап 4.3

Умножим $5$ на $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 4.5

Умножим $0$ на $1$ .

$0$