Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} e^{- x} \sin (π x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} e^{- x} \cdot lim_{x \to 0} \sin (π x)$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} - x} \cdot lim_{x \to 0} \sin (π x)$

Этап 3

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \sin (π x)$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- lim_{x \to 0} x} \cdot \sin (lim_{x \to 0} π x)$

Этап 5

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} x} \cdot \sin (π lim_{x \to 0} x)$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{0} \cdot \sin (π lim_{x \to 0} x)$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{0} \cdot \sin (π \cdot 0)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 \cdot \sin (π \cdot 0)$

Этап 7.2

Умножим $\sin (π \cdot 0)$ на $1$ .

$\sin (π \cdot 0)$

Этап 7.3

Умножим $π$ на $0$ .

$\sin (0)$

Этап 7.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0$