Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \sqrt{\frac{7 x^{2}}{6 + x}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 4} \frac{7 x^{2}}{6 + x}}$

Этап 2

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{7 lim_{x \to 4} \frac{x^{2}}{6 + x}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\sqrt{7 \frac{lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 6 + x}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{7 \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 6 + x}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\sqrt{7 \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 6 + lim_{x \to 4} x}}$

Этап 6

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\sqrt{7 \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{6 + lim_{x \to 4} x}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt{7 \frac{4^{2}}{6 + lim_{x \to 4} x}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt{7 \frac{4^{2}}{6 + 4}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $7$ и $\frac{4^{2}}{6 + 4}$ .

$\sqrt{\frac{7 \cdot 4^{2}}{6 + 4}}$

Этап 8.2

Добавим $6$ и $4$ .

$\sqrt{\frac{7 \cdot 4^{2}}{10}}$

Этап 8.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{7 \cdot 16}{10}}$

Этап 8.4

Умножим $7$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{112}{10}}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $112$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вынесем множитель $2$ из $112$ .

$\sqrt{\frac{2 (56)}{10}}$

Этап 8.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 5}}$

Этап 8.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 5}}$

Этап 8.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{56}{5}}$

Этап 8.6

Перепишем $\sqrt{\frac{56}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$\frac{\sqrt{4 (14)}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.7.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 14}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.7.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.8

Умножим $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 8.9.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 8.9.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 8.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 8.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 8.9.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 8.9.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5}$

Этап 8.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 14}}{5}$

Этап 8.10.2

Умножим $5$ на $14$ .

$\frac{2 \sqrt{70}}{5}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{70}}{5}$

Десятичная форма:

$3.34664010 \dots$