Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \cos (7 x)}{1 - \cos (4 x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 1 - \cos (7 x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} \cos (7 x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 4} \cos (7 x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 4} 7 x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Этап 5

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} \cos (4 x)}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{1 - lim_{x \to 4} \cos (4 x)}$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{1 - \cos (lim_{x \to 4} 4 x)}$

Этап 9

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{1 - \cos (4 lim_{x \to 4} x)}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (7 \cdot 4)}{1 - \cos (4 lim_{x \to 4} x)}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (7 \cdot 4)}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{1 - \cos (28)}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Этап 11.1.2

Найдем значение $\cos (28)$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 0.88294759}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $0.88294759$ .

$\frac{1 - 0.88294759}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Этап 11.1.4

Вычтем $0.88294759$ из $1$ .

$\frac{0.1170524}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{0.1170524}{1 - \cos (16)}$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\cos (16)$ .

$\frac{0.1170524}{1 - 1 \cdot 0.96126169}$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $0.96126169$ .

$\frac{0.1170524}{1 - 0.96126169}$

Этап 11.2.4

Вычтем $0.96126169$ из $1$ .

$\frac{0.1170524}{0.0387383}$

Этап 11.3

Разделим $0.1170524$ на $0.0387383$ .

$3.02161929$