Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (1 - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) (1 - \cos (2 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot (1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot (1 - \cos (2 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (2 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.9.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot (1 - \cos (2 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.9.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.9.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.9.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.9.5

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (1 - \cos (2 x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) (1 - \cos (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) (1 - \cos (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (3 x)$ и $g (x) = 1 - \cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)] + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 - \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.7.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.7.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (1 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.9

Умножим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (2 x) (2 \cdot 1) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.12

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (2 x) \cdot 2 + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.13

Перенесем $2$ влево от $\sin (3 x) \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot (\sin (3 x) \sin (2 x)) + (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.14

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.14.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.14.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.14.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.15

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.17

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.18

Перенесем $3$ влево от $(1 - \cos (2 x)) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + 3 \cdot ((1 - \cos (2 x)) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + (3 \cdot 1 + 3 (- \cos (2 x))) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + 3 \cdot 1 \cos (3 x) + 3 (- \cos (2 x)) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.19.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.19.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) + 3 (- \cos (2 x)) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.19.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (3 x) \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) - 3 \cos (2 x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.19.4

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x) \sin (3 x) - 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x) \sin (3 x) - 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}{2 x}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x) \sin (3 x) - 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}{x}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (2 x) \sin (3 x) - 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.12

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.13

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.14

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.16

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.17

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.17.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.17.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.17.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 3 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.17.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 3 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.17.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 3 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.18.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 3 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) - 3 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) - 3 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 3 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 - 3 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.6

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.7

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.9

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 \cdot \cos (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.10

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 \cdot \cos (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.11

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 \cdot 1 + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.12

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 + 3 \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.13

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 + 3 \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.14

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 + 3 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.1.15

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 3 + 3}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 3}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.18.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x) \sin (3 x) - 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \sin (3 x) - 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \sin (3 x) - 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 \sin (2 x) \sin (3 x) - 3 \cos (2 x) \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \sin (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (2 x) \sin (3 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x) \sin (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.2

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.6.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.9

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.10

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin (2 x) \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.11

Перенесем $3$ влево от $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \cdot \sin (2 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.12

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.13

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.14

Перенесем $2$ влево от $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \cos (2 x) \cos (3 x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.2

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.3.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.6.2

Производная $\cos (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $- \sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.6.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.9

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.10

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.11

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (3 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) + 3 \frac{d}{d u_{5}} [\cos (u_{5})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.2.2

Производная $\cos (u_{5})$ по $u_{5}$ равна $- \sin (u_{5})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) + 3 \cdot - 1 \sin (u_{5}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.2.3

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) + 3 \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) + 3 \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) + 3 \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) + 3 \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) + 3 \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.7

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \sin (3 x) \cos (2 x)) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \cdot 2 \sin (3 x) \cos (2 x) - 3 (\cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x)) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \cdot 2 \sin (3 x) \cos (2 x) - 3 \cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) - 3 \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) \cos (3 x) + 2 \cdot 2 \sin (3 x) \cos (2 x) - 3 \cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) - 3 \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) \cos (3 x) + 4 \sin (3 x) \cos (2 x) - 3 \cos (2 x) \cdot - 3 \sin (3 x) - 3 \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6.3.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) \cos (3 x) + 4 \sin (3 x) \cos (2 x) + 9 \cos (2 x) \sin (3 x) - 3 \cos (3 x) \cdot - 2 \sin (2 x) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6.3.4

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) \cos (3 x) + 4 \sin (3 x) \cos (2 x) + 9 \cos (2 x) \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) \sin (2 x) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6.3.5

Изменим порядок множителей в $4 \sin (3 x) \cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) \cos (3 x) + 4 \cos (2 x) \sin (3 x) + 9 \cos (2 x) \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) \sin (2 x) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6.3.6

Добавим $4 \cos (2 x) \sin (3 x)$ и $9 \cos (2 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) \cos (3 x) + 13 \cos (2 x) \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) \sin (2 x) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6.3.7

Изменим порядок множителей в $6 \sin (2 x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \cos (3 x) \sin (2 x) + 13 \cos (2 x) \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) \sin (2 x) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6.3.8

Добавим $6 \cos (3 x) \sin (2 x)$ и $6 \cos (3 x) \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (3 x) \sin (2 x) + 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - 9 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (3 x) \sin (2 x) + 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - 9 \sin (3 x)}{1}$

Этап 3.4

Разделим $12 \cos (3 x) \sin (2 x) + 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - 9 \sin (3 x)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 12 \cos (3 x) \sin (2 x) + 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - 9 \sin (3 x)$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 12 \cos (3 x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.2

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (12 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (12 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (12 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 13 \cos (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.8

Вынесем член $13$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.12

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.13

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (3 x))$

Этап 4.14

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 9 lim_{x \to 0} \sin (3 x))$

Этап 4.15

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (lim_{x \to 0} 3 x))$

Этап 4.16

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (3 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 13 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (3 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 13 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (3 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 13 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (3 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 13 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 13 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 13 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (12 \cdot 1 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 13 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.3

Умножим $12$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (12 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 13 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \cdot \sin (0) + 13 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \cdot 0 + 13 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.6

Умножим $12$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 13 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.7

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 13 \cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 13 \cdot 1 \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.9

Умножим $13$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 13 \cdot \sin (3 \cdot 0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.10

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 13 \cdot \sin (0) - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.11

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 13 \cdot 0 - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.12

Умножим $13$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 0 - 9 \sin (3 \cdot 0))$

Этап 6.1.13

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 0 - 9 \sin (0))$

Этап 6.1.14

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 0 - 9 \cdot 0)$

Этап 6.1.15

Умножим $- 9$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 0 + 0)$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 0)$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 6.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0$