Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2 x + 1 - 3}}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2 \sqrt{2}}}$

Этап 9

Найдем предел $2 \sqrt{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 11.1.3

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 11.1.4

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 11.2

Объединим $\sqrt{6}$ и $\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ под одним знаком корня.

$\sqrt{\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 11.3

Сократим выражение $\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sqrt{\frac{2 (3)}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 11.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 11.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2})}}$

Этап 11.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (- \sqrt{2})$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

Этап 11.3.5

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

Этап 11.3.6

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}}}$

Этап 11.4

Умножим $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 11.5

Умножим $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Этап 11.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 11.7

Упростим.

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Этап 11.8

Перепишем $\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.9

Умножим $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 11.10.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 11.10.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 11.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 11.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 11.10.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 11.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2}$

Этап 11.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}$

Этап 11.11.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

Десятичная форма:

$2.26303343 \dots$