Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sqrt{x}}{2 + x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 + x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 + x$ .

$\frac{(2 + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 + x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 9

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.1.3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.1.4

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.4.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.1.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.1.4.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.2

Чтобы записать $- x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.3

Объединим $- x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.1.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.5.1.1.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.5.1.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.5.1.1.4

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.5.1.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.5.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$ на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.2

Объединим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.4

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.5

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.6

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.6.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{2}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.6.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1 - \frac{x^{1}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.3.7

Упростим $x^{1}$ .

$\frac{1 - \frac{x}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- \frac{x}{2} + 1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- \frac{x}{2} + \frac{2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- x + 2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{- x + 2}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.7

Умножим $\frac{- x + 2}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- x + 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2})}$

Этап 14.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.9

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.11

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 14.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$