Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{3 x}{2}} \frac{\sin (x)}{3 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{3 x}{2}} \frac{\sin (x)}{x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{3 x}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 x}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (\frac{3 x}{2})}{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 x}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (\frac{3 x}{2})}{\frac{3 x}{2}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3} (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{2}{3 x})$

Этап 5.2

Объединим $\sin (\frac{3 x}{2})$ и $\frac{2}{3 x}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (\frac{3 x}{2}) \cdot 2}{3 x}$

Этап 5.3

Перенесем $2$ влево от $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot \sin (\frac{3 x}{2})}{3 x}$

Этап 5.4

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{3 x}$ .

$\frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{3 (3 x)}$

Этап 5.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{9 x}$