Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{3 π}{4}} \sec (x - \frac{π}{1})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $π$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{4}} \sec (x - π)$

Этап 1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - π)$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3 π}{4}$ .

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - lim_{x \to \frac{3 π}{4}} π)$

Этап 1.4

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{3 π}{4}$ .

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - π)$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{4}$ для $x$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} - π)$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4})$

Этап 3.2

Объединим $- π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4})$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sec (\frac{3 π - π \cdot 4}{4})$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\sec (\frac{3 π - 4 π}{4})$

Этап 3.4.2

Вычтем $4 π$ из $3 π$ .

$\sec (\frac{- π}{4})$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec (- \frac{π}{4})$

Этап 3.6

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sec (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sec (\frac{π}{4})$

Этап 3.8

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 3.9

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.10.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.10.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.10.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.11.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{2}$

Десятичная форма:

$1.41421356 \dots$