Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3.9} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3.9$ .

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 4}{lim_{x \to 3.9} \sqrt{x} - 2}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3.9$ .

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - lim_{x \to 3.9} 4}{lim_{x \to 3.9} \sqrt{x} - 2}$

Этап 3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3.9$ .

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3.9} \sqrt{x} - 2}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3.9$ .

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3.9} \sqrt{x} - lim_{x \to 3.9} 2}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 3.9} x} - lim_{x \to 3.9} 2}$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3.9$ .

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 3.9} x} - 1 \cdot 2}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $3.9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3.9$ для $x$ .

$\frac{3.9 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 3.9} x} - 1 \cdot 2}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3.9$ для $x$ .

$\frac{3.9 - 1 \cdot 4}{\sqrt{3.9} - 1 \cdot 2}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3.9 - 4}{\sqrt{3.9} - 1 \cdot 2}$

Этап 8.1.2

Вычтем $4$ из $3.9$ .

$\frac{- 0.1}{\sqrt{3.9} - 1 \cdot 2}$

Этап 8.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 0.1}{\sqrt{3.9} - 2}$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{0.1}{\sqrt{3.9} - 2}$

Этап 8.4

Умножим $\frac{0.1}{\sqrt{3.9} - 2}$ на $\frac{\sqrt{3.9} + 2}{\sqrt{3.9} + 2}$ .

$- (\frac{0.1}{\sqrt{3.9} - 2} \cdot \frac{\sqrt{3.9} + 2}{\sqrt{3.9} + 2})$

Этап 8.5

Умножим $\frac{0.1}{\sqrt{3.9} - 2}$ на $\frac{\sqrt{3.9} + 2}{\sqrt{3.9} + 2}$ .

$- \frac{0.1 (\sqrt{3.9} + 2)}{(\sqrt{3.9} - 2) (\sqrt{3.9} + 2)}$

Этап 8.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{0.1 (\sqrt{3.9} + 2)}{{\sqrt{3.9}}^{2} + \sqrt{3.9} \cdot 2 - 2 \sqrt{3.9} - 4}$

Этап 8.7

Упростим.

$- \frac{0.1 (\sqrt{3.9} + 2)}{- 0.1}$

Этап 8.8

Сократим общий множитель $0.1$ и $- 0.1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Перепишем $0.1$ в виде $- 1 (- 0.1)$ .

$- \frac{- 1 (- 0.1) (\sqrt{3.9} + 2)}{- 0.1}$

Этап 8.8.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{- 1 \cdot - 0.1 (\sqrt{3.9} + 2)}{- 0.1}$

Этап 8.8.3

Разделим $- (\sqrt{3.9} + 2)$ на $1$ .

$- - (\sqrt{3.9} + 2)$

Этап 8.9

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- \sqrt{3.9} - 1 \cdot 2)$

Этап 8.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (- \sqrt{3.9} - 2)$

Этап 8.11

Применим свойство дистрибутивности.

$- - \sqrt{3.9} - - 2$

Этап 8.12

Умножим $- - \sqrt{3.9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{3.9} - - 2$

Этап 8.12.2

Умножим $\sqrt{3.9}$ на $1$ .

$\sqrt{3.9} - - 2$

Этап 8.13

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\sqrt{3.9} + 2$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{3.9} + 2$

Десятичная форма:

$3.97484176 \dots$