Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Этап 1.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{0}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{0^{3}}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Этап 1.3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

Этап 1.3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Этап 1.3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Этап 1.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Этап 1.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

Этап 1.3.8.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

Этап 1.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 1.3.10.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \cos (x) (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) x^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \cos (0) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \cos (0) \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 \cdot 1 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 0^{2}$

Этап 4.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0$

Этап 4.7

Умножим $3$ на $0$ .

$0$