Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{5 x}{x + 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x + 2}$

Этап 2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$0 - lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x + 2}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 2}$

Этап 4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x}}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$0 - 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Этап 5.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$0 - 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Этап 5.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$0 - 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Этап 5.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$0 - 5 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Этап 5.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$0 - 5 \frac{1}{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 6

$0 - 5 \frac{1}{1 + 2 \cdot 0}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$0 - 5 \frac{1}{1 + 0}$

Этап 7.1.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$0 - 5 (\frac{1}{1})$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сократим общий множитель.

$0 - 5 (\frac{1}{1})$

Этап 7.1.2.2

Перепишем это выражение.

$0 - 5 \cdot 1$

Этап 7.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$0 - 5$

Этап 7.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5$