Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt[4]{x} - 2}{\sqrt{x} - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt[4]{x} - 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 4}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt[4]{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 4}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 4}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 4}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4}$

Этап 7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt[4]{2^{2}} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Этап 9.1.2

Перепишем $\sqrt[4]{2^{2}}$ в виде $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{\sqrt{2^{2}}} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Этап 9.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Этап 9.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4}$

Этап 9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2} - 2}{2 - 1 \cdot 4}$

Этап 9.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2}{2 - 4}$

Этап 9.2.4

Вычтем $4$ из $2$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2}{- 2}$

Этап 9.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{2} - 2}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2} - 2}{2}$

Десятичная форма:

$0.29289321 \dots$