Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{1}{x})$

Этап 1

Перепишем $x \sin (\frac{1}{x})$ в виде $\frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.2.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.3

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5.2

Объединим $\cos (\frac{1}{x})$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.6

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Этап 2.3.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

Этап 2.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.6.2

Разделим $\cos (\frac{1}{x})$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{x})$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Этап 4

$\cos (0)$

Этап 5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1$