Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} - 9 π \cos (\frac{π x}{2}) \sin (\frac{π x}{2})$

Этап 1

Вынесем член $- 9 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 9 π lim_{x \to 3} \cos (\frac{π x}{2}) \sin (\frac{π x}{2})$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$- 9 π lim_{x \to 3} \cos (\frac{π x}{2}) \cdot lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- 9 π \cos (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2}) \cdot lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})$

Этап 4

Вынесем член $\frac{π}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x) \cdot lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x) \cdot \sin (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2})$

Этап 6

Вынесем член $\frac{π}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x) \cdot \sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} \cdot 3) \cdot \sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} \cdot 3) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{π}{2}$ и $3$ .

$- 9 π \cos (\frac{π \cdot 3}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Этап 8.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$- 9 π \cos (\frac{3 \cdot π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Этап 8.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 9 π \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Этап 8.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 9 π \cdot 0 \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Этап 8.5

Умножим $- 9 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $0$ на $- 9$ .

$0 π \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Этап 8.5.2

Умножим $0$ на $π$ .

$0 \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Этап 8.6

Объединим $\frac{π}{2}$ и $3$ .

$0 \cdot \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Этап 8.7

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$0 \cdot \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Этап 8.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$0 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 8.9

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 \cdot (- 1 \cdot 1)$

Этап 8.10

Умножим $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 \cdot - 1$

Этап 8.10.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0$